Блок 2. Свободное падение тел. Баллистическое движение.
Содержание темы
1. Свободное падение тел – движение тел под действием силы тяжести в отсутствии сопротивления воздуха:
1656 г – Галилей измерил ускорение свободного падения g = 9,8 м/с2;
ускорение свободного падения тел на Луне и на других планетах зависит от их массы и радиуса.
Падение тел в воздухе: тела с малой скоростью падают почти свободно – увеличивается скорость, увеличивается сопротивление – сила сопротивления становится равной силе тяжести – тело движется равномерно.
Уравнения свободного падения тел при движении вверх и при движении вниз (с начальной скоростью и без). Начало движения – начало отсчёта. Направление движения – направление координатной оси. (см конспект 1: а=g)
Графики пути и перемещения для случая движения тела, брошенного вертикально вверх, отличаются друг от друга, потому что путь измеряется длиной траектории, а перемещение изменением координат.
Баллистическое движение
Т раектория движения тела, вылетающего с начальной скоростью V0 под углом α к горизонту в поле силы тяжести, является параболой
а) по горизонтали – равномерное прямолинейное: x = x0 + V0x t, где V0x = V0 cos α
б) по вертикали - равнопеременное с ускорением g: y = y0 + V0yt + gy t2/2, где V0y = V0 sin α
Криволинейное баллистическое движение – результат сложения двух движений.
Если начало отсчёта связать с началом движения тела, то закон баллистического движения будет иметь вид:
x = (V0 cos α) t,
y = (V0 sin α) t+ gy t2/2
График баллистического движения представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз и одна из них проходит через начало координат.
ymax = V02 sin2 α/2g - максимальная высота подъёма.
xmаx = V02 sin 2α/g - дальность полёта
Д альность полёта максимальна, если sin 2 α =1, т.е. угол = 45 0.
С корость в любой момент времени при баллистическом движении: V = Vx2 + Vy2
Тема: Криволинейное движение.
В иды периодического движения (вращательное и колебательное) и их место и роль в Природе.
Важнейшая характеристика периодического движения – период – время полного повторения движения
Равномерное движение тела по окружности – движение с постоянной по модулю скоростью. Путь по дуге. Перемещение по хорде. Скорость направлена по касательной. Ускорение к центру окружности.
Способы описания движения тела по окружности:
- с помощью пути: 2πr = vT
x = r Cos φ, y = r Sin φ
с помощью угла поворота радиуса – вектора., φ = ωt.
Угол поворота, угловая скорость, период, фаза, частота вращения – главные характеристики вращательного движения. φ – фаза колебаний, угол поворота. Угловая скорость ω = φ/t - угол поворота в единицу времени.
Период – время одного полного поворота T = 2π/ω. Частота – число поворотов в единицу времени γ = 1/Т .
Связь между линейной и угловой скоростью. V = ωR = 2π γ R
Центростремительное или нормальное ускорение a = v2 /R.
Тангенциальное или касательное ускорение. a = Δv /t
Колебательное движение является периодическим и описывается такими же законами, что и движение по окружности. Координатный способ описания колебательного движения: x = r cos ωt y = r sin ωt
Гармонические колебания – это колебания при которых колеблющаяся величина изменяется синусоидально. График гармонических колебаний представляет собой синусоиду, или косинусоиду.
Скорость колебательного движения vx = - v sin ωt = - ωr sin ωt. Максимальная скорость = ωr
Ускорение при колебательном движении ax = - an cos ωt = - ω2r cos ωt. Макс ускорение = ω2r
Р ешение задач:
Задача1. Из окна дома с высоты 19,6м горизонтально брошена монета со скоростью 5м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите, через какой промежуток времени монета упадёт на землю. На каком расстоянии по горизонтали от дома находится точка падения. Найдите скорость падения монеты и угол, который образует вектор скорости с горизонтом в точке падения.
Р ешение. S = V0 t, H = gt2/2, t = √ 2H/g = 2 c, S = 5*2 = 10м.
V= VX, VY = gt = 20 м/с, V =√ VX2 + VY2 = √ 25 + 400 = 20,2м/с,
tg α = VY / VX
Задача 2. Найдите скорость вращения Земли вокруг Солнца, считая её орбиту круговой с радиусом 1, 5 · 108км.
Решение. v = 2πR/T = 6.28·1.5·1011/(365·24·3600) =29870м/с
Задача 3. Найдите нормальное и тангенциальное ускорение конца секундной, минутной и часовой стрелок наручных часов, если их длина соответственно равна 1,5см, 1см, 0,5см.
Решение. at = 0; для минутной стрелки an = v2/R = 4π2R/T2 = 4·10·10-2/604 = 0,4/36002 = 2,8·10-8 м/с2
Задача 4. Частица совершает гармонические колебания по закону x = 24 cos·π/12 · t см . Как зависят проекции скорости и ускорения частицы на ось Х от времени? Определите координату частицы и найдите проекции её скорости и ускорения на ось Х в момент времени t = 4c.
Решение. А = 0,24м, ω = π/12. x = 0,24 cos π/12·t = 0,24 cos π/3 = 0,12м
v = -А · ω ·sin π/12 · t = -0,24· π/12 ·sin π/3 = 0,0628·0,86 = 0,054м/с.
a = - А· ω2 cos π/12 · t = - 0,24(π/12)2 cos π/3 = 0,0082м/с2.
График x = x(t) - косинусоида с амплитудой 0,24.
З адача 5. Найти высоту подъёма и дальность полёта сигнальной ракеты, выпущенной со скоростью 40м/с под углом 60о к горизонту.
Решение. t = V0 sin α/g - время подъема. Всё время полёта будет в два раза больше. t = 7с
H = ymax = V02 sin2 α/2g - максимальная высота подъёма.
H = 60м
xmаx = S = V02 sin 2α/g - дальность полёта
S = 140м
Самостоятельно.
Задача 6. Из самолёта на высоте 80м в горизонтальном направлении выброшен груз со скоростью 50 м/с.
A. Найти дальность полёта.
B. Найти величину и направление конечной скорости.
C..На сколько снизится груз за третью секунду падения.
Задача 7. Шарик равномерно вращается по окружности радиусом 20 см с частотой 2 об/сек.
A. Найти период обращения шарика, его угловую и линейную скорости.
B. Найти нормальное и тангенциальное ускорения шарика.
C. Найти фазу вращения в момент времени 0,1 сек от начала отсчёта.
Задача 8. Частица совершает гармонические колебания по закону
x = 0,12 sin 4πt.
A. Найти амплитуду период и частоту колебаний.
B. Найти координату и фазу в момент времени 0,1 сек от начала колебаний.
C. Найти значение скорости и ускорения в момент времени 0,1 сек от начала колебаний.
Формулы баллистического движения
1. При свободном падении с высоты H с начальной скоростью равной 0 H= V2/2g
При движении вверх с начальной скоростью V0 H= V02/2g, t=V/g
2. Закон баллистического движения.
x = (V0 cos α) t,
y = (V0 sin α) t+ gy t2/2
3. t = V0 sin α/g - время подъема в поле силы тяжести. Всё время движения будет в два раза больше.
ymax = V02 sin2 α / 2g - максимальная высота подъёма.
xmаx = V02 sin 2α / g - дальность полёта
Дальность полёта максимальна, если sin 2 α =1, т.е. угол = 45о.
Скорость в любой момент времени при баллистическом движении:
V = Vx2 + Vy2
Формулы колебательного движения
1. Длина траектории за один оборот : L = 2πR = vT
2. Координаты точки, движущейся по окружности: x = r Cos φ, y = r Sin φ
3. Угловая скорость (циклическая частота) ω = φ/t, ω = 2π /T, ω = 2π γ
4. Фаза колебаний, угол поворота φ = ω t
5. Период T = 2π /ω, Т = 1 / γ . Частота – γ = 1 / Т
Связь между линейной и угловой скоростью. V = ωR = 2π γ R
Центростремительное или нормальное ускорение a = v2 /R.
Тангенциальное или касательное ускорение. a = Δv/ t
Уравнения колебательного движения.
х = r cos ωt, хmax = r
Скорость колебательного движения.
vx = - vm sin ωt = - ωr sin ωt, vxmax = ωr
Ускорение при колебательном движении.
ax = - am cos ωt = - ω2r cos ωt, axmax = ω2r
Движение в поле тяготения. Криволинейное движение. Z. Rodchenko.