Перпендикулярность прямой плоскости.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Теорема. (Признак перпендикулярности прямой и плоскости.) Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Упражнение 1

Верно ли, что если прямая перпендикулярна каким-нибудь двум прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: Нет.

Упражнение 2

Прямая параллельна плоскости. Может ли она быть перпендикулярной какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: Да.

Упражнение 3

Что представляет собой геометрическое место точек, расположенных на прямых, проходящих через данную точку на прямой и перпендикулярных этой прямой?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: Плоскость, перпендикулярная данной прямой.

Упражнение 4

Как расположена относительно плоскости треугольника прямая, перпендикулярная двум его сторонам?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: П ерпендикулярна.

Упражнение 5

Найдите ГМТ в пространстве, равноудалённых от двух данных точек.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: Плоскость, проходящая через середину отрезка, концами которого являются данные точки, и перпендикулярная этому отрезку.

Упражнение 6

При каком взаимном расположении двух прямых через одну из них можно провести плоскость, перпендикулярную другой?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: Прямые перпендикулярны.

Упражнение 7

Определите вид треугольника, если через одну из его сторон можно провести плоскость, перпендикулярную другой стороне.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: Прямоугольный.

Упражнение 8

Докажите, что плоскость, проходящая через ребро AB правильно го тетраэдр а ABCD и точку H – середину ребра CD , перпендикулярна ребру CD .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Доказательство: Прямая CD перпендикулярна прямым AE и BE . Следовательно, она перпендикулярна плоскости ABE .

Упражнение 9

Докажите, что отрезок EF , соединяющий середины противоположных ребер AB и CD правильно го тетраэдр а ABCD , перпендикуляр ен ребру CD .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Доказательство: В силу предыдущей задачи, прямая CD перпендикулярна плоскости ABF . Следовательно, она перпендикулярна прямой EF , лежащей в этой плоскости .

Упражнение 10

Докажите, что прямая SO , проходящая через вершину S правильной четырехугольной пирамиды SABCD и точку O пересечения диагоналей основания, перпендикулярна плоскости основания ABCD .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Доказательство: Треугольник ACS равнобедренный, SO – медиана. Следовательно, прямая SO перпендикулярна AC . Аналогично, прямая SO перпендикулярна BD . В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости, прямая SO перпендикулярна плоскости ABC .

Упражнение 11

Докажите, что прямая SO , проходящая через вершину S правильной четырехугольной пирамиды SABCD и точку O пересечения диагоналей основания, перпендикулярна прямой AB .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Доказательство: В силу предыдущей задачи, прямая SO перпендикулярна плоскости ABC . Следовательно, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, она перпендикулярна прямой AB .

Упражнение 12

Докажите, что прямая AC , проходящая через вершины правильной четырехугольной пирамиды SABCD , перпендикулярна плоскости SBD .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Доказательство: Прямая AC перпендикулярна прямым BD и SO . Следовательно, она перпендикулярна плоскости SBD .

Упражнение 1 3

Докажите, что прямая AA 1 , проходящая через вершины куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 перпендикулярна плоскости ABC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство. Прямая AA 1 перпендикулярна прямым AB и AD . Следовательно, она перпендикулярна плоскости ABC .

Упражнение 14

Докажите, что прямые AA 1 и BD , проходящие через вершины куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , перпендикулярны.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство. В силу предыдущей задачи, прямая AA 1 перпендикулярна плоскости ABC . Следовательно, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, она перпендикулярна прямой BD .

Упражнение 1 5

Докажите, что прямая BD , проходящая через вершины куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 перпендикулярна плоскости ACC 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство. Прямая BD перпендикулярна прямым AA 1 и AC . Следовательно, она перпендикулярна плоскости ACC 1 .

Упражнение 16

Докажите, что прямые CA 1 и BD , проходящие через вершины куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , перпендикулярны.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство. В силу предыдущей задачи, прямая BD перпендикулярна плоскости AA 1 C . Следовательно, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, она перпендикулярна прямой CA 1 .

Упражнение 17

В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 укажите прямые, проходящие через вершины куба, перпендикулярные плоскости: а) ABC ; б) BCC 1 ; в) BCD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: а ) AA 1 , BB 1 , CC 1 , DD 1 ;

б ) AB , CD , A 1 B 1 , C 1 D 1 ;

в ) AB 1 , DC 1 .

Упражнение 18

В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 укажите плоскости, проходящие через вершины куба, перпендикулярные прямой: а) AA 1 ; б) AB 1 ; в) AC 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: а ) ABC , A 1 B 1 C 1 ;

б ) BCD 1 .

в ) BDA 1 , CB 1 D 1 .

Упражнение 1 9

Сколько имеется пар перпендикулярных прямых и плоскостей, содержащих ребра куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Решение: Для каждого ребра имеется две грани, ей перпендикулярные. У куба имеется 12 ребер. Следовательно, искомое число пар перпендикулярных прямых и плоскостей равно 24.

Упражнение 20

Докажите, что прямая AA 1 , проходящая через вершины правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 , перпендикулярна плоскости ABC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство. Прямая AA 1 перпендикулярна прямым AB и AC . Следовательно, она перпендикулярна плоскости ABC .

Упражнение 21

Докажите, что прямая AA 1 , проходящая через вершины правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , перпендикулярна плоскости ABC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство. Прямая AA 1 перпендикулярна прямым AB и AC . Следовательно, она перпендикулярна плоскости ABC .

Упражнение 22

Докажите, что прямая AB , проходящая через вершины правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , перпендикулярна плоскости BDD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство. Прямая AB перпендикулярна прямым BB 1 и BD . Следовательно, она перпендикулярна плоскости BDD 1 .

Упражнение 2 3

Докажите, что прямая BD , проходящая через вершины правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , перпендикулярна плоскости ABB 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство. Прямая BD перпендикулярна прямым BB 1 и AB . Следовательно, она перпендикулярна плоскости ABB 1 .

Упражнение 24

Докажите, что прямая CF , проходящая через вершины правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , перпендикулярна плоскости BDD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство. Прямая CF параллельна прямой AB , которая перпендикулярна плоскости BDD 1 . Следовательно, прямая CF также перпендикулярна плоскости BDD 1 .

Упражнение 25

Докажите, что прямая AC , проходящая через вершины правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , перпендикулярна плоскости BEE 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство. Прямая AC перпендикулярна прямым BE и BB 1 . Следовательно, она перпендикулярна плоскости BEE 1 .

Упражнение 26

Докажите, что прямая AB 1 , проходящая через вершины правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , перпендикулярна плоскости BDE 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Доказательство. Прямая AB 1 перпендикулярна прямым BA 1 и BD . Следовательно, прямая AB 1 перпендикулярна плоскости BDE 1 .

Упражнение 27

В правильной шестиугольной призме назовите плоскости, проходящие через ребра призмы и перпендикулярные прямой: а) AA 1 ; б) AB ; в) AB 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: а) ABC , A 1 B 1 C 1 ;

б) AEE 1 ; BDD 1 ;

в) BDE 1 .

Упражнение 28

В правильной шестиугольной призме назовите прямые, проходящие через вершины призмы и перпендикулярные плоскости: а) ABB 1 ; б) ACC 1 ; в) ADD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: а) AE , BD , A 1 E 1 , B 1 D 1 ;

б) AF , CD , BE , A 1 F 1 , C 1 D 1 , B 1 E 1 ;

в) BF , CE , B 1 F 1 , C 1 E 1 .

Упражнение 29

Назовите прямые, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, перпендикулярные плоскости ABC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ. AA 1 , BB 1 , CC 1 , DD 1 , A 1 B 2 ; D 1 C 2 .

Упражнение 30

Назовите прямые, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, перпендикулярные плоскости ADD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ. AB , DC , A 1 A 2 , D 1 D 2 , A 3 B 3 , D 3 C 3 .