Ответы карточка по геометрии ОГЭ 3

Ответы

Вариант 1:

1.  Ответ: 69

2.Ответ: 31,5

3. Ответ: 3660

4.Ответ: 7

5. 1

6. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 3 и 4, если отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны.

Решение.  Пусть ABCD  — данный четырёхугольник, O  — середина стороны AB, K  — середина стороны BC, P  — середина стороны CD, H  — середина стороны DA. Проведём диагонали AC и BD и отрезки OK, KP, PH и HO, последовательно соединяющие середины сторон четырёхугольника. Тогда, по свойству средней линии треугольника, отрезки OK и PH параллельны диагонали AC и равны её половине, а отрезки KP и HO параллельны диагонали BD и равны её половине. Поэтому OKPH  — параллелограмм. А так как, по условию задачи, его диагонали KH и OP равны, то OKPH  — прямоугольник, и угол OKP  — прямой. Отсюда следует, что и угол между диагоналями AC и BD тоже прямой, и, следовательно, площадь четырёхугольника ABCD будет равна половине произведения его диагоналей, то есть

.

Ответ: 6.

7. В параллелограмме KLMN точка B  — середина стороны LM. Известно, что BK  =  BN. Докажите, что данный параллелограмм  — прямоугольник.

Решение.  Противоположные стороны параллелограмма равны, то есть   Рассмотрим треугольники KLB и BMN, в них KB равно BN, LB равно BM и KL равно MN, следовательно, треугольники равны по трём сторонам, а значит, 

Вспомним также, что противоположные углы параллелограмма равны, следовательно:

Сумма углов параллелограмма 360°:

Все углы параллелограмм прямые, а следовательно, этот параллелограмм  — прямоугольник.

Вариант 2

1.Ответ: 69.

2.Ответ: 40.

3.Ответ: 1

4.Ответ: 2,5

5. Ответ: 2

6. Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите длину медианы, проведённой к стороне BC, если угол BAC равен 26°, угол BMC равен 154°,  .

Решение.  Обозначим точкой   середину стороны BC. Продлим MK на свою длину за точку   до точки L. Четырёхугольник BLCM  — параллелограмм, потому что   и  . Значит,    =  154°, поэтому четырёхугольник ABLC  — вписанный. Тогда  .

Ответ: 9.

7. В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, центр описанной окружности O и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°.

Решение.  В треугольнике ABC имеем  , а 

Таким образом,   значит,  .