Оценочный материал по геометрии (8 класс)
Контрольная работа № 1: «Четырёхугольники»
Вариант 1.
Даны утверждения:
а) диагонали равны
б) противоположные углы равны
в) диагонали перпендикулярны
г) противоположные стороны равны
д) все стороны равны
е) две стороны параллельны, а две другие нет
ж) диагонали точкой пересечения делятся пополам
з) два угла, прилежащие к боковой стороне в сумме 1800
и) все углы равны
к) диагонали являются биссектрисами углов
Выберите свойства: 1) Параллелограмма 2) Трапеции 3) Ромба
Постройте остроугольный треугольник, выберите точку О внутри этого треугольника. Постройте треугольник, симметричный данному относительно точки О.
Постройте тупоугольный треугольник, проведите прямую а так, чтобы она не пересекала стороны треугольника. Постройте треугольник, симметричный данному относительно прямой а.
4. В прямоугольнике АВСД диагонали пересек. в точке О. ∠АОВ = 360. Найдите углы САД и ВДС.
Вариант 2.
Даны утверждения:
а) противоположные углы равны
б) диагонали точкой пересечения делятся пополам
в) диагонали перпендикулярны
г) противоположные стороны равны
д) равны диагонали
е) две стороны параллельны, а две другие нет
ж) все стороны равны
з) диагонали являются биссектрисами углов
и) все углы равны
к) два угла, прилежащие к боковой стороне в сумме 1800
Выберите свойства: 1) Трапеции 2) Ромба 3) Параллелограмма
2.Постройте тупоугольный треугольник, выберите точку О вне этого треугольника. Постройте треугольник, симметричный данному относительно точки О.
3. Постройте остроугольный треугольник, проведите прямую а так, чтобы она пересекала две стороны треугольника. Постройте треугольник, симметричный данному относительно прямой а.
4. В прямоугольнике АВСД диагонали пересек. в точке О. ∠СОВ = 740. Найдите углы САД и АВД.
Контрольная работа № 2: «Площадь. Теорема Пифагора»
Вариант 1
Найдите площадь фигуры (размеры клеток 1×1)
В прямоугольном треугольнике катеты равны 7 см и 5 см. Найдите гипотенузу и площадь треугольника.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза и катет соответственно равны 13 см и 5 см. Найдите неизвестный катет и периметр треугольника.
Одна из диагоналей ромба равна 10 см, а сторона равна 7 см. Найдите вторую диагональ ромба и его площадь.
5. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса ВМ равная 6 см. Найдите площадь и периметр треугольника, если его боковая сторона равна 10 см.
Вариант 2.
Найдите площадь фигуры (размеры клеток 1×1)
В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 см и 8 см. Найдите гипотенузу и периметр треугольника.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза и катет соответственно равны 12 см и 8 см. Найдите неизвестный катет и площадь треугольника.
4. Найти площадь и диагональ ромба, если его сторона равна 8 см, а другая диагональ 12 см.
5. Найдите площадь и периметр равнобедренного треугольника, если его основание равно 12 см, а медиана, проведённая к основанию 8 см.
Контрольная работа № 3: «Подобные треугольники»
Вариант 1.
1.Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 66, сторона BC равна 37, сторона AC равна 74. Найдите MN.
2. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С АВ = 11, ВС = 4. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла А.
3. С помощью формул найдите синус, тангенс и котангенс угла, если cos α =
4. Проектор полностью освещает экран A высотой 50 см, расположенный на
расстоянии 140 см от проектора. На каком расстоянии от проектора нужно расположить экран B высотой 260 см, чтобы он был полностью освещён?
5. На каком расстоянии от фонаря стоит человек ростом 1,6 м, если длина его тени равна 2 м, высота фонаря 4 м?
Вариант 2.
1. Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 26, сторона BC равна 39, сторона AC равна 48. Найдите MN.
2. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С АВ = 12, ВС =5. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла А.
3. С помощью формул найдите косинус, тангенс и котангенс угла, если sin α =
4. Проектор полностью освещает экран A высотой 60 см, расположенный на расстоянии 110 см от проектора. На каком расстоянии от проектора нужно расположить экран B высотой 210 см, чтобы он был полностью освещён?
5. На каком расстоянии от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его тени равна 1 м, высота фонаря 9 м?
Контрольная работа № 4: «Окружность»
Вариант 1.
Часть 1. Запишите краткое решение задач
1. В угол C величиной 83° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O – центр окружности. Найдите AOB.
2. Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP =12, CP =15, DP =25. Найдите AP.
3. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 6,5. Найдите AC, если BC=12.
Часть 2. Решите задачи
4. Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 19°. Найдите угол AOD.
5. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что NBA=32°. НайдитеNMB.
6. Отрезок AB = 32 касается окружности радиуса 24 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.
Вариант 2.
Часть 1. Запишите краткое решение задач
1. В угол C величиной 40° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O – центр окружности. Найдите AOB.
2. Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP =15 , CP =6, DP =10. Найдите AP
3. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 14,5. Найдите AC, если BC=21.
Часть 2. Решите задачи
4. В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Угол ACB равен 16°. Найдите угол AOD.
5. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что NBA=71°. НайдитеNMB.
6. Отрезок AB =48 касается окружности радиуса 14 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD
Промежуточная аттестация: региональный публичный зачёт по геометрии
Билет № 1
1. Определение многоугольника. Вершины, стороны, диагонали и периметр многоугольника. Формула суммы углов выпуклого многоугольника
2 . Доказать теорему о средней линии треугольника.
3. Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды AC, если BD = 1 см, а радиус окружности равен 5 см.
4. Периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 27. Найдите площадь это прямоугольника.
Билет № 2
1 . Определение и свойства параллелограмма.
2. Доказать свойство медиан треугольника
3. Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на расстоянии 250 см от проектора. На каком расстоянии от проектора нужно расположить экран B высотой 160 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?
4 . Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 100°.
Билет № 3
1 . Определение и свойства прямоугольника
2. Доказать теорему Пифагора.
3. Найдите величину (в градусах) вписанного угла α, опирающегося на хорду AB, равную радиусу окружности.
4. Прямая, параллельная основаниям и трапеции , проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны и в точках и соответственно. Найдите длину отрезка , если см, см.
Билет № 4
1. Определение и свойства ромба
2. Доказать теорему о вписанном угле (любой частный случай)
3. Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны соответственно 15 км/ч и 20 км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет между ними через 2 часа?
4. В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.
Билет № 5
1. Определение трапеции. Виды трапеций.
2. Доказать свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки.
3 . От столба высотой 9 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба 8 м. Вычислите длину провода.
4. Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25 .
Билет № 6
1. Определение подобных треугольников. Признаки подобия треугольников
2 . Доказать признак параллелограмма (по точке пересечения диагоналей).
3. В равностороннем треугольнике ABC медианы BK и AM пересекаются в точке O. Найдите .
4. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 7,5, а AB = 2.
Билет № 7
1. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.
2 . Доказать свойство диагоналей параллелограмма.
3. Найдите градусную меру ∠MON, если известно, NP — диаметр, а градусная мера ∠MNP равна 18°.
4. В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 57. Найдите площадь четырёхугольника ABMN.
Билет № 8
1. Значение синуса, косинуса и тангенса углов 30 ,45 ,60 .
2. Доказать свойства противоположных сторон и углов параллелограмма.
3 . У треугольника со сторонами 16 и 2 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?
4. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 8.
Билет № 9
1. Определение секущей и касательной к окружности.
2. Доказать свойство диагоналей прямоугольника.
3 . В 60 м одна от другой растут две сосны. Высота
одной 31 м, а другой — 6 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.
4. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 18, а сторона AC в 1,2 раза больше стороны BC.
Билет № 10
1. Определение вписанного и центрального углов окружности.
2. Доказать признак параллелограмма через равенство и параллельность двух противоположных сторон.
3. Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 8 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна четырем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь?
4. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр равен 56. Найдите площадь трапеции.
Билет № 11
1. Определение серединного перпендикуляра к отрезку. Свойство серединного перпендикуляра.
2. Вывод формулы площади треугольника. Следствия. Формула Герона (без доказательства).
3 . К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см.
4. На сторонах угла и на его биссектрисе отложены равные отрезки и . Величина угла равна 160°. Определите величину угла .
Билет № 12
1. Определение окружности, вписанной в многоугольник. Многоугольник, описанный около окружности. Свойство описанного четырехугольника.
2. Доказать свойства диагоналей ромба.
3. Найдите периметр прямоугольного участка земли, площадь которого равна 800 м2 и одна сторона в 2 раза больше другой. Ответ дайте в метрах.
4. Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС и пересекает его стороны АВ и ВС в точках К и Е соответственно. Отрезки АЕ и СК перпендикулярны. Найдите ∠КСВ, если ∠АВС = 20°.
Билет № 13
1. Определение окружности, описанной около многоугольника. Многоугольник, вписанный в окружность. Свойства четырехугольника, вписанного в окружность.
2. Доказать свойство биссектрисы угла.
3. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен 45°. Найдите площадь треугольника.
4. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 19, а расстояние от точки K до стороны AB равно 7.
Билет № 14
1. Окружность, вписанная в треугольник. Окружность, описанная около треугольника. Нахождение центров этих окружностей.
2. Свойство углов при основании равнобедренной трапеции.
3. В выпуклом четырехугольнике ABCD , , , . Найдите угол A. Ответ дайте в градусах.
4. Найдите отношение двух сторон треугольника, если его медиана, выходящая из их общей вершины, образует с этими сторонами углы в 30° и 90°.
Билет № 15
1. Теорема Фалеса.
2. Свойство отрезков пересекающихся хорд.
3. Сторона ромба равна 34, а острый угол равен 60° . Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
4. Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 8 и 9. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит ее пополам.