Относительная частота и закон больших чисел

Тема: Относительная частота и закон больших чисел

Цели урока: 

Развивающая: создание условий для развития логического мышления, умения сравнивать, обобщать, делать выводы.

Воспитательная: создание условий для воспитания ответственности за свои действия.

Образовательная: сформировать понятия частота и вероятность случайного события, сформировать представление о законе больших чисел.

Задачи: формирование умений и навыков решения задач на определение относительной частоты случайного события.

Ход урока

Нам нередко приходится проводить наблюдения, опыты, участвовать в экспериментах или испытаниях. Часто подобные исследования заканчиваются некоторым результатом, который заранее предсказать нельзя.

Если открыть книгу наугад, то невозможно знать заранее, какой номер страницы вы увидите. Мы твердо знаем, что лето кончится, наступит осень, а затем зима. Но невозможно сказать заранее, будет эта зима теплой или холодной. Как правило, наблюдения или эксперимент определяются каким-то комплексом условий. Например, футбольный матч должен проходить по правилам.

Событием называется результат наблюдения, опыта, эксперимента.

Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей.

Вы знакомы с классическим определением вероятности (доля успеха того или иного события). Оно не требует, чтобы испытание проводилось в действительности: теоретическим способом определяются все равновозможные и благоприятствующие событию исходы.

Задача. Бросили 100 раз игральный кубик. При бросании игрального куба на его верхней грани кубика выпадают очки:

И с х о д ы и с п ы т а н и я:

1. Выпадает одно очко.

2. Выпадает два очка.

3. Выпадает три очка.

4. Выпадает четыре очка.

5. Выпадает пять очков.

6. Выпадает шесть очков.

С л у ч а й н о е с о б ы т и е: - выпадет шесть очков.

Ч а с т о т а с о б ы т и я: - в данной серии экспериментов «шестёрка»

выпала 17 раз.

О т н о с и т е л ь н а я - отношение частоты к общему числу испытаний.

ч а с т о т а (в нашем случае 17/ 100 )

Такую оценку вероятности случайного события называют статистической. Ее используют в разных областях деятельности человека: физике, химии, биологии, страховом бизнесе, социологии, экономике, здравоохранении, спорте.

Относительной частотой 
случайного события в серии испытаний называется 
отношение числа испытаний, в которых это событие наступило, 
к числу всех испытаний

Вводимые обозначения:

А – событие;

M – число испытаний, при которых произошло событие А;

N – общее число испытаний;

W (A) = – относительная частота случайного события.

 Проблемный вопрос: Почему важна относительная частота события?

Пример.

Иван попал в мишень 3 раза, Петр – 4. Кто из них лучше стреляет?

Можно ответить, что Петр – лучше, так как больше число попаданий. Но мы не знаем, сколько у каждого было попыток. Например, Иван сделал всего три выстрела и попал все три раза, относительная частота попадания W (A) =3/3 = 1. А Петр сделал серию из 20 выстрелов и попал всего четыре раза: W (A) =4/20 = 0,2.)

Исследование. Подбрасываем монету 20 раз и наблюдаем за появлением орла. Результаты занести в таблицу с. 150

Мы видим, что в итоге все значения колеблятся около числа 0,5.

Ребята, мы можем с вами сделать вывод, который и позволяет сформулировать Закон больших чисел:

Можно считать достоверным тот факт, что при большом числе испытаний относительная частота события W (A) практически не отличается от его вероятности Р (А), т.е.

Р (A) ≈ W (А)

при большом числе испытаний.

IV. Закрепление знаний

№ 308

№ 309 (дополнительная задача – при наличии свободного времени)

Решение

Событие А – исцеление пациентов после курса лечения;

M = 952 – число исцелившихся пациентов с помощью нового препарата;

N = 1000 – общее число пациентов;

W (A) = M / N = 952 : 1000 = 0, 952

Ответ: 0, 952

§ 20 – выучить определение относительной частоты и закон больших чисел,

№ 310, № 312.

VI. Подведение итогов

Итак, мы сегодня познакомились с понятием относительной частоты случайного события и сформулировали закон больших чисел.