Открытый урок "Сумма n-первых членов геометрической прогрессии"

Тема: «Сумма n-первых членов геометрической прогрессии»

Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний и способов деятельности

Участники: обучающиеся 9 класса

Цель: организация деятельности учащихся по изучению нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии.

Учебные задачи, направленные на развитие обучающихся:

- в личностном направлении:

• способствовать формированию мотивации учебной деятельности учащихся;

• воспитывать ответственность и аккуратность;

• развивать рефлексивные умения (самооценка и самопознание);

- в метапредметном направлении:

• развивать умения самостоятельно ставить цели урока;

• развивать умение анализировать информацию при работе с презентацией;

• способствовать развитию умения выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки;

• развивать умение работать в группе;

• прививать умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу и строить продуктивное взаимодействие;

• способствовать развитию умений ясно и точно выражать свои мысли, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию и приводить примеры.

- в предметном направлении:

• способствовать формированию у учащихся понятий нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии;

• развивать умение самостоятельно составлять формулы зависимостей между членами геометрической прогрессии и доказывать эти математические утверждения;

• применять формулы геометрической прогрессии при решении как простых, так и более сложных (практического содержания) задач.

Формы работы учащихся: - фронтальная форма, групповая форма, индивидуальная форма.

Техническое обеспечение: проектор, экран, презентация для сопровождения урока, раздаточный материал.

Структура и ход урока:

Ход урока.

I. Организационный момент.

1) Собрать тетради для проверки домашнего задания.

2) Учащимся сообщается тема урока и цели, подчеркивается актуальность данной темы (слайд №1).

II. Актуализация знаний.

1) Повторение. Фронтальная устная работа с классом.

Заполняется таблица по вопросам учащимся (слайд №2).

Вопросы:

• Определение арифметической прогрессии.

• Определение геометрической прогрессии.

• Формула n-го члена арифметической прогрессии.

• Формула n-го члена геометрической прогрессии.

• Свойство арифметической прогрессии.

• Свойство геометрической прогрессии.

• Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии

А с формулой суммы n-первых членов геометрической прогрессии мы познакомимся сегодня.

2) Тест (по вариантам, взаимопроверка) (слайды №3 - 5).

III. Введение нового материала.

1) Создание проблемной ситуации

В старинной арифметике Л. Ф. Магницкого (основоположник арифметики в России (1669 – 1739 г.)) приведена следующая забавная задача (слайд №6).

Задача из арифметики Магницкого (слайд №7).

Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, обретя лошадь, раздумал и возвратил продавцу, говоря: «Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит». Тогда продавец предложил другие условия:

«Если, по-твоему, цена  лошади высока, то купи ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне 1/4 коп, за второй - 1/2коп., за третий - 1коп., и т.д.»

Покупатель, соблазненный низкой ценой, и желая даром получить  лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей.

На сколько проторговался покупатель?

Решение (слайд №8).

1. Составим последовательность чисел

2. Данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем q =2; n = 24.

3. Попытаемся подсчитать сумму

Неудобно! Громоздко!

Проблема: Как вычислить? Нельзя ли решить эту задачу проще? Можно ли вывести формулу для решения данной задачи?

Такая формула существует, но сначала рассмотрим ещё одну задачу.

Легенда о геометрической прогрессии (слайды №9 - 13).

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.

-Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, - сказал царь, - Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, - продолжал царь. Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.

-Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать мне столько зёрен риса, сколько получиться в сумме, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно риса. На вторую клетку - 2 зерна, на третью - 4, на четвертую - 8, на пятую - 16, на шестую -32,…, увеличивая число зёрен каждый раз вдвое.

- Довольно, - с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моей милостью. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с рисом.

Сета улыбнулся хитро, покинул дворец и стал дожидаться у ворот дворца.

Почему так хитро улыбнулся Сета?

Мог ли индусский царь выполнить желание Сеты?

Об этом ты узнаешь чуточку позже.

А сейчас поподробнее рассмотрим последовательность чисел, соответствующих количеству зерен риса, если, как попросил Сета, за каждую следующую клетку нужно дать вдвое больше, чем было в предыдущей.

Получается последовательность:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,….

Или где

Нужно найти

Решение (слайд №14).

/ ∙ 2

Сгруппируем в этих равенствах одинаковые слагаемые и

вычтем из второго равенства первое, получим

или

Можно подсчитать, что масса такого числа пшеничных зёрен больше триллиона тонн. Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени. Такое количество пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли.

2) Вывод формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии.

(1 ученик работает у доски)

Пусть дана геометрическая прогрессия (bn). Обозначим сумму п первых её членов через S_n:

S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n-1+b_n. (1)

Умножим обе части этого равенства на q:

S_nq=b₁q+b₂q+b₃q+…+b_n-1q+b_nq.

Учитывая, что b₁q=b₂, b₂q=b₃, b₃q=b₄, …, b_n-1q=b_n,

Получим S_nq=b₂+b₃+b₄+…+b_n+b_nq. (2)

Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1) и приведём подобные члены:

S_nq – S_n=( b₂+b₃+…+b_n+b_nq) – (b₁+b₂+…+b_n-1+b_n)=b_nq – b₁.

S_n (q – 1)=b_nq – b₁.

Отсюда следует, что при q ≠ 1

. (I)

Мы получили формулу суммы п первых членов геометрической прогрессии, в которой q ≠ 1.

Если q=1, то все члены прогрессии равны первому члену и S_n=nb₁.

При решении многих задач удобно пользоваться формулой суммы п первых членов геометрической прогрессии, записанной в другом виде. Подставим в формулу (I) вместо b_n выражение b₁q^{n – 1}. Получим:

, если q ≠ 1. (II)

3) Вернёмся к первой задаче (1 ученик работает у доски)

Таким образом, покупатель проторговался на огромную сумму.

IV. Физкультминутка.

Гимнастика для глаз.

V. Закрепление изученного материала.

1) Первичное закрепление изученного материала.

1. Завершается заполнение таблицы (слайд №15).

2. Из учебника №222(4, 6) (Решение у доски с комментариями)

Какой из формул удобнее воспользоваться?

№223(2) (Самостоятельное решение с последующей проверкой. 1 человек работает на откидной доске).

№224(2) (Решение у доски с комментариями)

3. Работа в группах.

Учащиеся, справившиеся с заданиями раньше всех, объединяются в группы и решают задачу

Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, если её четвёртый член равен а знаменатель равен

Решение.

, отсюда

По формуле
, имеем

VI. Подведение итогов урока. Рефлексия.

Достигли ли мы целей урока?

Что интересного узнали на уроке?

Где можно найти применение геометрической прогрессии?

Чему научились на уроке? (слайд №15).

Оценки (с комментарием).

VII. Домашнее задание.

1. Теория § 15.

2. Решить № 222(1,3,5), № 223(1), №224(1) .

3. Найти (придумать) практические задачи на нахождение суммы геометрической прогрессии.

Например (слайд №16).

1) Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория – туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после шестикратного деления их стало 320?

2) Рост дрожжевых клеток происходит делением каждой клетки на 2 части. Сколько стало клеток после их десятикратного деления, если первоначально было 6 клеток?