Основные понятия алгебры логики

Алгебра логики

Основные понятия

Основы формальной логики заложил Аристотель, который впервые отделил логические формы речи от ее содержания.

Он исследовал терминологию логики, подробно разобрал теорию умозаключений и доказательств, описал ряд логических операций, сформулировал законы мышления.

Отцом Алгебры логики по праву считается английский математик Джордж Буль. Именно он построил один из разделов формальной логики в виде некоторой «алгебры», аналогичной алгебре чисел, но не сводящейся к ней.

Аристотель

Джордж Буль

(384-322 до н.э)

(1815-1864)

Долгое время алгебра логики была известная достаточно узкому классу специалистов, пока в 1938 году американский математик и инженер Клод Шеннон не показал, что алгебра логики применима для описания самых разнообразных процессов, в том числе функционирования релейно-контактных и электронно-ламповых схем.

Клод Шеннон

(1916-2001)

Логика изучает внутреннюю структуру процесса мышления, который реализуется в таких формах, как понятие, суждение, умозаключение и доказательство.

Понятие

Для наглядной иллюстрации объемов понятий используются диаграммы Эйлера-Венна.

Если существуют понятия А, B и т.д., то объем каждого понятия можно представить в виде круга, а отношения между ними в виде пересекающихся кругов

Содержание

Объем

Совокупность существенных признаков объекта

Совокупность (множество) предметов, на которое распространяется понятие

Между множествами (объемами понятий) могут быть различные виды отношений:

Равнозначность – объемы понятий полностью совпадают

Пересечение – объемы понятий частично совпадают

Подчинение – объем одного понятия полностью входит в объем другого

И т.д…

А

В

Высказывание (суждение) – выражается повествовательным предложением, о котором однозначно можно сказать, истинно оно или ложно.

Высказывание можно выразить с помощью математических, химических и прочих знаков формального языка.

Истинное суждение – связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей.

Ложное суждение – связь понятий искажает объективные отношения, не соответствует реальной действительности

Обозначения:

1 – истинное высказывание

0 – ложное высказывание

Не обо всех предложениях можно сказать однозначно, что они истинны или ложны.

«Это предложение является ложным»

• Если принять за истину это высказывание, это противоречит его смыслу.
• Если высказывание принять за ложь, то отсюда следует, что высказывание на самом деле истинно.

Причина парадокса лежит в структуре предложения:

оно ссылается на свое собственное значение.

Задания:

• Из данных предложений выберите те, которые являются высказываниями:

• Коля спросил: «Который час?»
• Как пройти в библиотеку?
• Картины Пикассо слишком абстрактны
• Решение задачи – информационный процесс
• Число 2 является делителем 7 в некоторой системе счисления
• Санкт-Петербург – красивый город
• Драконы летают летом

• Объясните, почему формулировка любой теоремы является высказыванием.

• Высказывание является простым , если никакая его часть сама не является высказыванием
• Высказывание, состоящее из простых высказываний, соединенных словами «связками», называется составным или сложным

Простые высказывания:

А – идет дождь

В – крокодилы летают

Сложные высказывания

А или В – идет дождь или крокодилы летают

А и В – идет дождь, и крокодилы летают

Не А – не идет дождь

В обычной речи употребляются такие связки, как «и», «или», «не», «если…, то», «тогда и только тогда, когда…», «либо… либо...» и т.д.

Обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики.

Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний.

0 II + VI VIII Город Москва – столица России Решение задачи – информационный процесс Любое число, которое делится на 2 делиться на 4 Меню в программе – это список возможных вариантов Для всех x верно, что x 2 0 II + VI VIII При каких значениях выражение не ((X8) или (XИстинное значение? Ложное значение? " width="640"

Задания

• Приведите по два примера истинных и ложных высказываний из биологии, географии, информатики, истории, математики, литературы

• Выберите истинные высказывания:

• Город Москва – столица России Решение задачи – информационный процесс Любое число, которое делится на 2 делиться на 4 Меню в программе – это список возможных вариантов Для всех x верно, что x 2 0 II + VI VIII
• Город Москва – столица России
• Решение задачи – информационный процесс
• Любое число, которое делится на 2 делиться на 4
• Меню в программе – это список возможных вариантов
• Для всех x верно, что x 2 0
• II + VI VIII

• При каких значениях выражение не ((X8) или (X
• Истинное значение?
• Ложное значение?

Умозаключение

Дедуктивное

Индуктивное

По аналогии

От общего к частному

От частного к общему

Пример:

Пример:

Пример:

• Все металлы электропроводны
• Ртуть – металл
• Значит, ртуть электропроводна

• Железо, медь, цинк, алюминий и т.д. – электропроводны
• Значит, все металлы электропроводны

Химический состав Солнца и Земли сходен по многим показателям, поэтому когда на Солнце обнаружили ранее неизвестный химический элемент (гелий) предположили, что на Земле он тоже есть.

Отличие умозаключения от доказательства в том, что умозаключение заранее исходит из истинности посылок, а в доказательстве подвергается сомнению истинность самих посылок

Задания

В приведенных предложениях вместо многоточий поставьте подходящие по смыслу слова: «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». Получившиеся высказывания должны быть истинными:

• Чтобы число делилось на 3, … чтобы оно делилось на 9 Для того, чтобы число делилось на 10, … чтобы оно оканчивалось нулем Чтобы произведение двух чисел равнялось нулю, … чтобы хотя бы одно из чисел было равно нулю Для того, чтобы число делилось на 10, … чтобы оно делилось на 5
• Чтобы число делилось на 3, … чтобы оно делилось на 9
• Для того, чтобы число делилось на 10, … чтобы оно оканчивалось нулем
• Чтобы произведение двух чисел равнялось нулю, … чтобы хотя бы одно из чисел было равно нулю
• Для того, чтобы число делилось на 10, … чтобы оно делилось на 5

Сделайте выводы (умозаключения), исходя из следующих посылок:

• "Если четырехугольник является квадрато то его диагонали равны"; "Четырехугольник  ABCD  — квадрат". "Если число делится на 6, то оно четное"; "Число 18 делится на 6“ Дуб — лиственное дерево"; "Береза — лиственное дерево"; "Липа — лиственное дерево". "Обь замерзает зимой"; "Енисей замерзает зимой"; "Лена замерзает зимой".
• "Если четырехугольник является квадрато то его диагонали равны"; "Четырехугольник  ABCD  — квадрат".
• "Если число делится на 6, то оно четное"; "Число 18 делится на 6“
• Дуб — лиственное дерево"; "Береза — лиственное дерево"; "Липа — лиственное дерево".
• "Обь замерзает зимой"; "Енисей замерзает зимой"; "Лена замерзает зимой".