Опорный конспект по теме "Шар и сфера"

В курсе планиметрии вы познакомились с понятием окружности и круга.

Вспомним, что окружность — это множество точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки (центр окружности).

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью.

Аналогично понятию окружности на плоскости вводится понятие сферы в пространстве.

Поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, называется сферой.

Данная точка — центр сферы (на рисунке точка О).

Данное расстояние — радиус сферы (на рисунке — отрезок ОС).

Радиусом сферы также называют отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой сферы.

Диаметром сферы называют отрезок, проходящий через центр и любые две точки сферы (на рисунке — отрезок DC).

Аналогично диаметру окружности, диаметр сферы равен двум радиусам.

О – центр сферы

ОС – радиус сферы R

DC-диаметр сферы D

D = 2R

Шаром называется тело, ограниченное сферой.

Существует и другое определение шара — шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

Очевидно, что центр, радиус, диаметр сферы являются центром, радиусом, диаметром шара.

Шар - тело, ограниченное сферой.

Или:

Шар радиуса R с центром в точке О - тело, содержащее все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

Центр, радиус, диаметр сферы - центр, радиус, диаметр шара.

Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг её диаметра, а шар — вращением полукруга вокруг его диаметра.

Сфера получена вращением полуокружности АСВ вокруг её диаметра АВ.

Разберём несколько задач, применяя полученные знания.

Задача 1.

Точки А и В лежат на сфере с центром О, О не лежит на отрезке АВ. Доказать, что если М — середина отрезка АВ, то ОМ┴АВ.

Доказательство:

1.АО=ОВ как радиусы, АМ=МВ — по условию, тогда треугольник АОВ – равнобедренный.

2.Отрезок ОМ — медиана треугольника АОВ.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой, поэтому ОМ┴АВ.

Таким образом, мы доказали, что если М — середина отрезка АВ, то ОМ┴АВ.

Что и требовалось доказать.

Дано: А и В∈ сфере, О∉АВ, АМ=МВ

Доказать: ОМ┴АВ

Доказательство:

1. АО=ОВ= R

АМ=МВ (по условию) Δ АОВ-равнобедренный.

2.ОМ-медиана ΔАОВ ОМ-высота

ОМ┴АВ ч.т.д.

Задача 2.

Точки А и В лежат на сфере радиусом R. Найти расстояние от центра сферы до прямой АВ, если АВ=m.

Решение:

1.Дополнительное построение: проведём плоскость через точки А, В и О (центр сферы).

В сечении получим окружность радиуса r.

2.Треугольник АОВ — равнобедренный, так как АО и ОВ — радиусы.

Дополнительное построение: проведём высоту ОМ, которая является и медианой.

ОМ — искомое расстояние от центра сферы до прямой АВ.

Найдём его.

3.Поскольку АВ=m, ОМ — медиана, то

МА=МВ= 

4. Найдём ОМ из прямоугольного треугольника АОМ по теореме Пифагора:

ОМ= = =

Итак, расстояние от центра сферы до прямой АВ равно

Дано: А и В ∈сфере, R-радиус, АВ=m

Найти: расстояние от центра сферы до прямой АВ.

Решение:

1.Д.п. проведём плоскость АВО

Сечение- окружность радиуса r.

2.Δ АОВ-равнобедренный (АО = ОВ-радиусы).

Д.п. ОМ-высота, медиана.

ОМ-расстояние от точки О до прямой АВ.

3. АВ=m, ОМ-медиана МА=МВ=

4. ΔАОМ-прямоугольный.

По теореме Пифагора:

ОМ= = =

Ответ: ОМ=

1.

d ₁ = d

2 .

d = 0

3.

OH ┴ α d = | OH | d R

Сечение сферы плоскостью есть окружность

Сфера и плоскость не имеют общих точек

r – радиус сечения

Радиус сечения равен радиусу сферы R.

4. OH ┴ α | OH | = d d = R

Сфера и плоскость α имеют только одну общую точку. Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка (Н) называется точкой касания плоскости и сферы.

Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.