Олимпиадные задачи

1. ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ:

1. Пять школьников приехали из пяти различных городов в Архангельск на областную математическую олимпиаду. «Откуда вы, ребята?» - спросили их хозяева. Вот что ответил каждый из них: Андреев: «Я приехал из Онеги, а Григорьев – из Каргополя».

Борисов: «В Каргополе живет Васильев. Я же прибыл из Коряжмы».

Васильев: «Я прибыл из Онеги, а Борисов – из Котласа».

Григорьев: «Я прибыл из Каргополя, а Данилов – из Вельска».

Данилов: «Да, я действительно из Вельска, Андреев же живет в Коряжме».

Хозяева очень удивились противоречивости ответов приехавших гостей. Ребята объяснили им, что каждый из них высказал одно утверждение правильное, а другое ложное. Но по их ответам вполне можно установить, кто откуда приехал. Откуда приехал каждый школьник?

1. Один из попугаев А, В, С всегда говорит правду, другой всегда врет, а третий хитрец – иногда говорит правду, иногда врет. На вопрос «Кто В?» они ответили:

А: - Лжец.

В: - Я хитрец!

С: - Абсолютно честный попугай.

Кто из попугаев лжец, а кто хитрец?

1. – У Вовы больше тысячи книг, - сказал Ваня.

- Нет, книг у него меньше тысячи, - возразила Аня.

- Одна-то книга у него наверняка есть, - сказала Маня.

Если истинно только одно из этих утверждений, сколько книг у Вани?

1. ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ:

1. В классе 40 учеников. Найдется ли такой месяц в году, в котором отмечают свой день рождения не меньше чем 4 ученика этого класса?

2. В школе 30 классов и 1000 учащихся. Докажите, что есть класс, в котором не менее 34 учеников.

3. В классе 30 учеников. В диктанте Вова сделал 13 ошибок, а остальные – меньше. Докажите, что по крайней мере три ученика сделали одно и то же количество ошибок.

1. ПРОЦЕССЫ И ОПЕРАЦИИ:

1. Отлейте из цистерны 13 литров молока, пользуясь бидонами емкостью 17 и 5 литров.

2. Имеется 4 пакета разной массы и чашечные весы без гирь. Как за 5 взвешиваний расположить пакеты в порядке возрастания массы?

3. Имеется 40 внешне одинаковых монет, среди которых 2 фальшивые – они легче, чем остальные и весят одинаково. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь отобрать 20 настоящих монет?

1. ИНВАРИАНТЫ И ПОЛУИНВАРИАНТЫ:

1. Вокруг поляны стоят 12 домиков, покрашенные в белый и красный цвета, в которых поселилось 12 гномов. У каждого гнома нечетное число друзей. В январе первый гном красит свой дом в тот цвет, в который окрашены дома большинства его друзей. В феврале это же делает второй ( по часовой стрелке ) и т.д. Докажите, что наступит момент, после которого цвет дома у каждого гнома перестанет меняться.

2. 16 корзин расположили по кругу. Можно ли в них разложить 55 яблок так, чтобы количество яблок в любых двух соседних корзинах отличалось на 1?

3. У числа 2010! Вычислили сумму цифр. У полученного числа опять вычислили сумму цифр, и так до тех пор, пока не получилось однозначное число. Какое это было число?

1. РАСКРАСКА:

1. Можно ли разбить на доминошки ( каждая – из двух клеток ) шахматную доску без противоположных углов а1 и h8?

2. Мышка грызет куб сыра, составленный из 27 единичных кубиков. Когда она съедает кубик, то переходит к соседнему через общую грань с предыдущим. Может ли мышка съесть весь куб кроме центрального кубика?

3. 25 жуков сидели по одному на каждой клетке доски 5х5. В некоторый момент времени каждый жук перелетел на одну из соседних клеток ( соседними считаются клетки, имеющие общую сторону ). Докажите, что хотя бы одна клетка освободилась.

1. НАИБОЛЬШЕЕ, НАИМЕНЬШЕЕ:

1. Какое наибольшее количество клеток таблицы 8х8 можно покрасить так, чтобы никакие три цвета окрашенных клеток не лежали на одной прямой?

2. Какое наибольшее количество а) ладей, б) слонов, в) коней, не бьющих друг друга, можно расставить на доске 8х8?

3. За какое наименьшее количество выстрелов можно с гарантией подбить четырехклеточный корабль в игре «морской бой»?

1. ПРИНЦИП КРАЙНЕГО:

1. По кругу записано 100 чисел, каждое из которых равно среднему арифметическому своих соседей. Докажите, что все 100 чисел равны.

2. В системе Зеленой Собаки 2011 планет. На каждой из этих планет сидит астроном и смотрит в телескоп на ближайшую планету. Докажите, что если попарные расстояния между планетами различны, то найдется планета, на которую никто не смотрит.

3. В течение рабочего дня каждый депутат посетил заседание парламента. Все депутаты приходили и уходили в разное время, но никто из них уходя больше не возвращался. Оказалось, что любые два депутата встретились на заседании. Докажите, что был момент, когда все депутаты присутствовали.