Окружность. Решение задач ОГЭ.

Окружность .Решение заданий ОГЭ.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. Радиус вписанной окружности обозначается маленькой буквой r, а центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника. В любой треугольник можно вписать окружность и только одну.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через три его вершины. Вокруг любого треугольника можно описать окружность и только одну. Центр данной окружности лежит на пересечении серединных перпендикулярах к сторонам.

Задача 1, тренировочная.

 Периметр правильного треугольника АВС равен 15. Найдите радиус вписанной и описанной окружностей.

Решение:

Длина стороны равностороннего треугольника    равна 

Радиусы   – вписанной и   – описанной окружностей можно найти по формулам:

 где   — сторона треугольника.

Значит, 

Ответ: 

Решая задачи по теме «Вписанные и описанные треугольники», мы часто пользуемся формулами площади треугольника, а также теоремой синусов.

Вот две полезные формулы для площади треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

, где   — полупериметр,

 — радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части  :

где   — стороны треугольника,   — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:
Теорема синусов:

R — радиус описанной окружности

 Задача 2, ЕГЭ. Найдите диаметр окружности, вписанной в треугольник со сторонами 13, 14 и 15.

Решение:

Выразим площадь треугольника двумя разными способами:

 где   – полупериметр треугольника, a   – его стороны.

Тогда  , а диаметр окружности равен 

Ответ: 8.

Задача 3, ЕГЭ. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен  . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите  .

Решение:

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен  . Тогда гипотенуза равна  .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что  . Поскольку  , получаем, что  .

Тогда  .

В ответ запишем  .

Ответ: ⁴.

Задача 4, ЕГЭ. В треугольнике   сторона   равна   , а угол   равен  . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение:

По теореме синусов 

Тогда 

Ответ: 7.

Задача 5, ЕГЭ. В треугольнике   угол А равен  , а угол В –  . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника  , если сторона   равна 10.

Решение:

Зная, что сумма углов треугольника равна  , найдем угол С.

По теореме синусов 

Значит, 

Ответ: 10.

Задача 6, ЕГЭ. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов,

Получаем, что  . Угол   — тупой. Значит, он равен  .

Ответ: ¹⁵⁰.

Задача 7, ЕГЭ. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны  , основание равно  . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где   — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону   пополам. По теореме Пифагора найдем  .

Тогда  .

Ответ: 25.

Задача 8, ОГЭ. В равнобедренном треугольнике   основание   равно 10 см, а высота, проведенная к основанию, 12 см. Найдите периметр треугольника и радиус вписанной окружности.

Решение:

Высота  , проведенная к основанию  , является медианой. Значит,  .

 находится по теореме Пифагора из треугольника  :

Периметр треугольника   – это сумма длин сторон, т.е. 

Площадь треугольника 

Радиус вписанной окружности r найдем по формуле 

Ответ: 

Задача 9, ОГЭ. Стороны   и   треугольника   равны 6 и   соответственно, угол  . Найдите диаметр окружности, описанной около треугольника  .

Решение:

Найдем длину стороны   по теореме косинусов, используя длины сторон  ,   и косинус угла В, противолежащего стороне  :

Теперь воспользуемся теоремой синусов:

Значит, диаметр окружности, описанной около треугольника  , равен 6.

Ответ: 6.

Задача 10. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус описанной окружности равен 5, а вписанной 1.

Решение:

Пусть длина радиуса описанной окружности  , а длина радиуса вписанной окружности 

Мы знаем, что  , где   – полупериметр,   – стороны треугольника.

Значит, 

Отсюда 

Тогда 

Ответ: 11.

Задача 11. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус вписанной окружности равен 2, а гипотенуза 10.

Решение:

Пусть радиус вписанной окружности  , а гипотенуза 

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике 

Значит,   отсюда 

Площадь находится по формуле   где   – полупериметр,   – стороны треугольника.

Ответ: 24.

Рассмотрим также задачу из 2 части ЕГЭ по математике.

Задача 12. Точка О – центр вписанной в треугольник   окружности. Прямая   вторично пересекает описанную около треугольника   окружность в точке Р.

а) Докажите, что 

б) Найдите площадь треугольника  , если радиус окружности, описанной около треугольника   равен 10, 

Решение:

а) Пусть    О – центр вписанной окружности, значит,   и   – биссектрисы углов   и   соответственно, и 

 как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу 
Тогда 

 – внешний угол треугольника  , поэтому он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, т.е. 

Значит,   Что и требовалось доказать.

б)   , следовательно, треугольник   – равнобедренный,   – основание, 

Угол   равен  , значит, 

По теореме синусов для треугольника  :

Тогда отрезок   равен отрезку  , т.е.  .

Найдем угол С из треугольника  : 

 как вписанные углы, опирающиеся на дугу  .

Площадь треугольника   находится по формуле: 

Ответ: