Нестандартные способы умножения чисел

Нестандартные способы умножения чисел

Автор: Софронова Наталия Андреевна,

учитель математики высшей категории

МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»

Оршанского района Республики Марий Эл

1

2

2

4

3

3

6

4

4

6

8

8

5

5

9

10

6

10

6

12

12

7

12

7

12

15

15

16

14

14

18

20

18

8

8

20

9

25

24

24

21

9

16

21

16

28

30

18

18

30

28

10

10

24

24

35

35

36

20

20

32

32

27

27

42

42

40

36

40

30

30

36

49

45

48

40

45

48

40

54

50

50

56

56

54

63

63

60

60

64

70

70

72

72

80

80

81

90

90

100

Можно ли умножить два числа, не зная таблицы умножения ?

Способы умножения без таблицы умноженья ?

Девиз : Незнающие пусть научатся, а

знающие - вспомнят ещё раз.

Античный афоризм

Умножение на пальцах

Крестьянский способ умножения

Индийский способ умножения или метод решетки

Графические способы умножения

Молниеносный способ умножения

Умножение на пальцах

Умножение на 9

3 ∙ 9 =

27

• Загнем 3-й палец
• Слева – 2 пальца – число десятков, справа – 7 пальцев – число единиц.

6 ∙ 9 =

54

• Загнем 6-й палец
• Слева – 5 пальцев – число десятков,

справа – 4 пальца – число единиц.

72

8 ∙ 9 =

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Умножение на пальцах

однозначных чисел, больших 5

Древнерусский способ умножения на пальцах является одним из наиболее употребительных методов, которым успешно пользовались на протяжении многих столетий российские купцы.

На одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали.

Сумма вытянутых пальцев на обоих руках – число десятков, произведение загнутых пальцев – число единиц.

7 ∙ 8 =

56

• На одной руке вытянем 2 пальца (7 больше 5 на 2), на второй руке – 3 пальца (8 больше 5 на 3), Остальные пальцы загибаем.
• Сумма вытянутых пальцев равна 5 (2+3 =5) - число десятков
• Произведение загнутых пальцев равно 6 (3 ∙ 2 = 6) – число единиц

Умножение на пальцах

однозначных чисел, больших 5

8 ∙ 8 =

64

• На одной руке вытянем 3 пальца (8 больше 5 на 3), на второй руке – 3 пальца (8 больше 5 на 3), остальные пальцы загибаем.
• Сумма вытянутых пальцев равна 6 (3 + 3 = 6) - число десятков Произведение загнутых пальцев равно 4 (2 ∙ 2 = 4) – число единиц

6 ∙ 7 =

30+12=

42

• На одной руке вытянем 1 палец (6 больше 5 на 1), на второй руке – 2 пальца (7 больше 5 на 2), Остальные пальцы загибаем.
• Сумма вытянутых пальцев равна 3 (1 + 2 = 3) - число десятков Произведение загнутых пальцев равно 12 (4 ∙ 3 = 12) – число единиц

Крестьянский способ умножения

Русские крестьяне при умножении чисел пользовались приемом, не требующим знания таблицы умножения дальше числа 2. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа. Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат.

1 множитель

2 множитель

29

32

32 ∙ 29

= 928

16

58

116

8

4

232

Какие проблемы могут возникнуть при использовании этого приема?

464

2

1

928

Крестьянский способ умножения

1 множитель

2 множитель

36 ∙ 29

36

29

36 ∙ 29 ≠ 928

18

58

9

116

36 ∙ 29 = 1044

232

4

464

2

116 + 928 = 1044

928

1

Правило: Один множитель запишем слева, а второй - справа на одной строчке. Левый множитель будем делить на 2, а правый - умножать на 2 и результаты записывать в столбик. Если при делении возникнет остаток, то он отбрасывается. Операцию продолжаем, пока слева не получится 1. Затем вычеркнем те строчки, в которых слева стоят четные числа и сложим оставшиеся числа в правом столбце. Это и есть искомое произведение.

Крестьянский способ умножения

65 ∙ 145

1 множитель

2 множитель

65

145

32

9

2

1

8

0

4

5

290

+

580

16

8

1160

5

9

4

2

2320

4

2

4640

65 ∙ 145 = 9425

9280

1

Крестьянский способ умножения

47 ∙ 51

1 множитель

2 множитель

1

6

4

3

2

2

0

8

1

0

0

4

2

5

1

47

51

23

102

+

204

11

5

408

816

2

7

9

3

2

1

1632

47 ∙ 51 =2397

Крестьянский способ умножения

987 ∙ 2014

=1 987 818

1 множитель

2 множитель

987

2014

4028

493

1

0

5

3

2

1

1

1

5

1

5

6

7

5

2

3

8

7

8

8

2

9

8

1

4

2

2

9

6

2

4

1

6

0

1

4

2

2

2

0

8

1

4

246

8056

123

16112

+

61

32224

30

64448

128896

15

7

257792

515584

3

1

30

9

8

1

8

7

8

1031168

1

=

Индийский способ умножения

6827 ∙ 345

2

6

8

7

2 355 315

1

2

0

2

2

3

4

8

2

6

1

3

2

0

2

3

4

8

8

2

4

3

1

4

3

5

5

0

0

0

5

3

1

5

5

Построим таблицу 5 х 4

4

=

Индийский способ умножения

723 ∙ 854

3

2

7

5

1

2

6

8

617 442

6

2

4

6

3

1

1

5

1

5

0

5

0

1

2

7

4

8

8

2

Построим таблицу 4 х 4

4

2

4

Другое название этого способа – способ решетки

4

Графический способ умножения (линейный)

3 2 ∙ 2 1

= 672

На листе бумаги поочередно рисуем линии, количество которых определяется из данного примера. Сначала 32 : 3 красные линии и чуть ниже - 2 синие. Затем 21 : перпендикулярно уже нарисованным, рисуем сначала 2 зеленые, затем - 1 малиновую.

ВАЖНО: линии одного числа рисуются в направлении из нижнего левого, в верхний правый, второго числа - из верхнего левого угла в нижний правый,

6

2

Затем считаем количество точек пересечения в каждой из трех областей (на рисунке области обозначены в виде окружностей). Итак, в первой области (область сотен) - 6 точек, во второй (область десятков) - 7 точек, в третьей (область единиц) - 2 точки. Следовательно ответ: 672.

7

Линейный способ умножения

6 2 ∙ 4 7

= 2914

14

24

Когда удобно применять графические способы умножения чисел ?

50

Линейный способ умножения

1 2 3 ∙ 4 1 2

= 50676

4

6

7

9

16

2 3 ∙ 2 4 1

= 5543

3

4

14

Линейный способ умножения

14

=

Графический способ умножения (японский)

Это графический способ с использованием кругов и линий, забавный и интересный

6

26 ∙ 34

884

Дважды изображаем кругами число 26: 2 десятка - 2 концентрических круга и 6 единиц - 6 концентрических кругов.

Так как первая цифра второго множителя 3, а вторая 4, делим круги первого столбца на три части, второго столбца на четыре. Количество частей, на которые разделились круги и является ответом

26

24

Вертикально и крест накрест

32 ∙ 12

47 ∙ 89

4

8

7

9

3

2

1

2

7 ∙ 9 = 63

3 ∙ 1 = 3

4 ∙ 8 = 32

2 ∙ 2 = 4

3 ∙ 2 + 2 ∙ 1 = 8

4 ∙ 9 + 7 ∙ 8 = 92

63

92

32 … …

32 ∙ 12 = 384

47 ∙ 89 = 4183

Вертикально и крест накрест

32

48

+

10 … …

2

5 4 ∙ 2 8

=

1

1 5

--

--

--

--

2 8

5 ∙ 2 = 10

1 ) Умножаем старшие разряды :

4 ∙ 8 = 32

2) Умножаем младшие разряды :

5 ∙ 8 + 4 ∙ 2 = 48

3) Находим средний разряд:

+

2

5 4 ∙ 2 8

1

1 5

=

--

--

--

--

1) 4 ∙ 8 = 32, 2 пишем, 3 - запоминаем

2) 5 ∙ 8 + 4 ∙ 2 = 48, 48 + 3 = 51 , 1 пишем, 5 - запоминаем

3) 5 ∙ 2 = 10, 10 + 5 = 15, 15 пишем

Молниеносный способ умножения

Вертикально и крест на крест (умножение пирамидой)

3 4 ∙ 2 6

= 8 8 4

3

4

2

6

0

6

2

3

2

4

6

4

1)

2)

+

2

6

4

8

8

3 ∙ 6 + 4 ∙ 2 = 26

Вертикально и крест на крест (умножение пирамидой)

= 5 7 4 9 4

3 2 3 ∙ 1 7 8

3

1

2

3

7

8

2)

1)

3

1

2

7

3

8

3 ∙ 7 + 2 ∙ 1 = 23

3

1

2

7

3

8

0 3

2 4

1 4

4)

3 7

2 3

+

2 ∙ 8 + 3 ∙ 7 = 37

2 7

3)

3

1

2

7

3

8

7

5

4

9

4

3 ∙ 8 + 3 ∙ 1 = 27

Еще один способ умножения двухзначных чисел, немного меньших 100

ПОЧЕМУ ?

= 7372

97 ∙ 76

97 ∙ 76 = 97 ∙ (100 – 24) =

97 ∙ 100 - 97 ∙ 24 =

97

76

3

97 ∙ 100 - ( 100 – 3 ) ∙ 24 =

97 ∙ 100 – (24 ∙ 100 – 24 ∙3) =

24

100 ∙ (97– 24 ) +24 ∙ 3 =

97 ∙ 100 – 24 ∙ 100 + 24 ∙ 3 =

7 2

7 3

73 00 + 72 =

100 ∙ (97– 24 ) +24 ∙ 3 =

7372

1) Находим дополнения до 100 обоих чисел;

2) Перемножаем дополнения, полученное произведение – число десятков и единиц искомого произведения.

3) Вычитаем из первого множителя дополнения второго или из второго множителя дополнение первого (эти разности равны), полученная разность - число тысяч и сотен искомого произведения.

3 ∙ 24 = 72

97 - 24 = 73

или

76 - 3 = 73

Еще один способ умножения двухзначных чисел, немного меньших 100

= 9207

93 ∙ 99

1) Находим дополнения до 100 обоих чисел;

2) Перемножаем дополнения, полученное произведение – число десятков и единиц искомого произведения.

3) Вычитаем из первого множителя дополнения второго или из второго множителя дополнение первого (эти разности равны), полученная разность - число тысяч и сотен искомого произведения.

93

99

7

1

07

92

7 ∙ 1 = 7, пишем 07

93 - 1 = 92, пишем 92

Еще один способ умножения двухзначных чисел, немного меньших 100

= 6794

86 ∙ 79

1) Находим дополнения до 100 обоих чисел;

2) Перемножаем дополнения, полученное произведение – число десятков и единиц искомого произведения.

3) Вычитаем из первого множителя дополнения второго или из второго множителя дополнение первого (эти разности равны), полученная разность - число тысяч и сотен искомого произведения.

86

79

14

21

9 4

6 7

14 ∙ 21 = 294, 94 пишем, 2 запоминаем

86 - 21 = 65, 65 + 2 = 67, пишем 67