Моделирование движения в поле силы тяжести

Моделирование движения в поле силы тяжести

Математическая модель свободного падения тела

Математическая модель свободного падения тела

• Рассмотрим одну из традиционных задач классической механики: движение тела в поле силы тяжести.

Определяющими факторами, влияющими на механическое движение тела, являются действующие на него силы. Согласно второму закону Ньютона:

(3.1)

Где m - масса тела, - его ускорение, - равнодействующая всех сил, действующих на тело.

Y

На свободно движущееся в поле силы тяжести тело в газовой или жидкой среде действуют три силы:

архимедова сила,

сила сопротивления,

сила тяжести.

Н

Запишем уравнение второго закона Ньютона

(3.2)

Проектируя данное векторное уравнение на ось Y и выражая ускорение получим:

(3.3)

Свободное падение без учета сил сопротивления

Выразим ускорение: a = -g

Из формул кинематики равноускоренного движения следует:

(3.5)

(3.4)

Учитывая, что: и , из формул (3.4) и (3.5) получаем:

(3.6)

(3.7)

y

y

V

H

О

О

t

t

T

T

Абсолютная величина скорости в момент падения будет равна

Свободное падение с учетом сопротивления среды

При движениях тел в газовой или жидкостной среде сопротивление среды оказывает сильное влияние на характер движения.

Механизмы сопротивления среды

«Лобовое» сопротивление

Вязкое трение

При малых скоростях величина силы сопротивления пропорциональна скорости, а далее с ростом скорости возрастает пропорционально ее квадрату.

и - коэффициенты пропорциональности

С учетом силы сопротивления из уравнения второго закона Ньютона в проекции на ось Y выразим ускорение:

(3.8)

Ускорение зависит от времени, поэтому движение не равноускоренное.

Для решения полученной задачи используем численный подход к моделированию динамического процесса.

Пусть ∆t – малый шаг изменения времени. Получим формулу, по которой будем вычислять величину скорости. Допускаем, что скорость и ускорение движения на каждом шаге по времени не изменяется, а при переходе к следующему шагу изменяется скачком. Поскольку ускорение есть скорость изменения скорости, то:

Отсюда:

Ускорение выразим из формулы (3.8). Поскольку , то:

(3.9)

За время ∆t на i-м шаге тело перемещается на расстояние . Следовательно, координата y тела будет принимать значения.

(3.10)

По условию задачи падение происходит с высоты Н с нулевой начальной скоростью, поэтому при t=0 выполняются начальные условия: v(0)=0, y(0)=H

Предельная скорость свободного падения

Предельное значение скорости можно найти решив квадратное уравнение

Отсюда:

ПАРАМЕТРЫ МОДЕЛИ С УЧЕТОМ СОПРОТИВЛЕНИЯ СРЕДЫ

Диск с=1,11

• Масса тела;
• Начальная высота Н;
• Динамическая вязкость среды μ;
• Плотность среды ρ;
• Начальная скорость движения тела V(0);
• Характерный размер тела b в направлении, перпендикулярном потоку;
• Параметры с 1 и с 2 , отражающие форму тела.

Полусфера с=1,33

Полусфера с=0,55

Шар с=0,4

Каплевидное

тело с=0,045

Каплевидное

тело с=0,1

Компьютерное моделирование свободного падения

Задача 1. Сопоставим процессы падения твердого шара радиуса К с одной и той же высоты в разных средах: в пустоте, в воздухе, в воде.

С учетом сферической формы тела имеем:

Перепишем еще раз математическую модель свободного падения тела

Домашнее задание

§3.2.1 -3.2.3 – читать,

№ 2-3 стр. 35-36 - письменно