Тригонометрия
Тригонометрические
уравнения и неравенства
Никулина Светлана Ивановна
- Повторим значения синуса косинуса
у π/2 90°
120° 2π/3 1 π/3 60°
135° 3π/4 π/4 45°
150° 5π/6 1/2 π/6 30°
180° π -1 0 1 0 0° x
- - - 1/2 ½ 2π 360 (cost)
210° 7π/6 - 1/2 11π/6 330° [-π/6]
-
225° 5π/4 - 7π/4 315° [-π/4]
240° 4π/3 -1 5π/3 300° [-π/3]
270° 3π/2 [-π/2]
(sint)
Примеры:
Арксинусом числа а называется
такое число (угол) t из [-π/2;π/2] ,
что sin t = а .
Причём, | а |≤ 1 .
у
π/2
1
arcsin а = t
а
х
- а
arcsin( - а )
arcsin( - а )= - arcsin а
-1
-π/2
у
Арккосинусом числа а называется
такое число (угол) t из [0;π], что
cos t = а .
Причём, | а |≤ 1 .
π/2
arccos а = t
arccos( - а )
х
π
0
arccos( - а ) = π- arccos а
-1
1
а
-а
Примеры:
= π
1)arccos(-1)
2)arccos
- При каких значениях х имеет смысл выражение:
1.arcsin(2x+1)
2.arccos(5-2x)
2) -1≤ 5-2х ≤1
1) -1≤ 2х-1 ≤1
-2≤ 2х ≤0
-6≤ -2х ≤ -4
-1≤ х ≤0
2≤ х ≤3
Ответ: [2;3]
Ответ: [-1;0]
4.arcsin(4x²-3x)
3.arccos(x²-1)
-1≤4х²-3х≤1
4х²-3х ≥ -1
4х²-3х ≤ 1
4х²-3х-1 ≤ 0
Ответ:
-1≤ х²-1 ≤ 1
0 ≤ х² ≤2
Ответ:
- Повторим значения тангенса и котангенса
Линия тангенсов tg t ЄR , но t ‡ + π k , kЄZ
у π/2
2π/3 π/3 1
5π/6 π/4
π/6 ctg t ЄR, но t ‡ 0 + πk , kЄZ
0 х Линия котангенсов
у
4π/3
-π/2
π 0 х
а
у
Арктангенсом числа а называется
такое число (угол) t из (-π/2;π/2),
что tg t = а .
Причём, а Є R.
π/2
arctg а = t
х
0
arctg( - а ) = - arctg а
arctg( - а )
-π/2
- а
Примеры:
1) arctg√3/3 =
2) arctg(-1) =
-π/4
π/6
у
Арккотангенсом числа а называется
такое число (угол) t из (0;π),
что c tg t = а .
Причём, а ЄR .
- а
а
arcctg а = t
arcctg( - а )
π
0
х
arcctg( - а ) = π – arcctg а
Примеры:
1) arcctg(-1) =
3π/4
2) arcctg√3 =
π/6
- Формулы корней простых тригонометрических уравнений
1.cost = а , где | а| ≤ 1
2.sint = а, где | а |≤ 1
3. tgt = а, а ЄR
t = arctg а + πk‚ kЄZ
или
или
Частные случаи
Частные случаи
4. ctgt = а, а ЄR
1) cost=0
1) sint=0
t = 0+πk‚ kЄZ
t = π/2+πk‚ kЄZ
t = arcctg а + πk‚ kЄZ
2) cost=1
t = 0+2πk‚ kЄZ
2) sint=1
t = π/2+2πk‚ kЄZ
3) cost = -1
t = π+2πk‚ kЄZ
3) sint = - 1
t = - π/2+2πk‚ kЄZ
Примеры:
1) cost= - ½;
2) sint = 0;
Частный случай:
t= ±arccos(-1/2)+2πk, kЄZ
t= ±2π/3+2πk, kЄZ
t = 0+πk, kЄZ
4) ctgt = -
3) tgt = 1;
t = arctg1+πk, kЄZ
t = arcctg( )+πk, kЄZ
t = π/4+πk, kЄZ.
t = 5π/6+πk, kЄZ.
- Решение простейших уравнений
2) cos(x+π/3) = ½
2x = arctg (-1) + πk, kЄZ
x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ
x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ
2x = -π/4 + πk, kЄZ
x = -π/8 + πk/2, kЄZ
x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ
Ответ: -π/8 + πk/2, kЄZ.
Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ
3) sin(π – x/3) = 0
упростим по формулам приведения
sin(x/3) = 0
частный случай
x/3 = πk, kЄZ
x = 3πk, kЄZ.
Ответ: 3πk, kЄZ.
- Другие тригонометрические уравнения
1.Сводимые к квадратным
a∙sin²x + b∙sinx + c=0
Пусть sinx = p, где |p| ≤1, тогда
a∙p² + b∙p + c = 0
Найти корни, вернуться к замене и
решить простые уравнения.
2.Однородные
1)Первой степени:
a∙sinx + b∙cosx = 0
Т.к. sinx и cosx одновременно
не равны нулю, то разделим обе
части уравнения на cosx. Получим:
простое уравнение
a∙tgx + b = 0 или tgx = m
2)Второй степени:
a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x = 0
Разделим обе части на cos²x.
Получим квадратное уравнение:
a∙tg²x + b∙tgx + c = 0.
а а arcsin а -(π+arcsin а ) x x а -arccos а Ответ: (-(π+arcsin а )+2πk; arcsin а +2πk), kЄZ Ответ: (-arccos а +2πk; arccos а+ 2πk), kЄZ а y π/2 y 4) ctgt а 3) tgt - а arcctg а 0 x x -arctg а - а Ответ: (0+πk; arcctg а +πk), kЄZ. Ответ: (-arctg а +πk; π/2+πk), kЄZ " width="640"
- Простые тригонометрические неравенства
y
y
arccos а
2) sint а
1) cost а
а
arcsin а
-(π+arcsin а )
x
x
а
-arccos а
Ответ: (-(π+arcsin а )+2πk; arcsin а +2πk), kЄZ
Ответ: (-arccos а +2πk; arccos а+ 2πk), kЄZ
а
y
π/2
y
4) ctgt а
3) tgt - а
arcctg а
0
x
x
-arctg а
- а
Ответ: (0+πk; arcctg а +πk), kЄZ.
Ответ: (-arctg а +πk; π/2+πk), kЄZ