Матрицы
Метод Гаусса
Формулы Крамера
Матрица Определение
Прямоугольная таблица из m , n чисел, содержащая m – строк и n – столбцов, вида:
называется матрицей размера m n
Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы.
Положение элемента а i j в матрице характеризуются двойным индексом:
первый i – номер строки;
второй j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.
Сокращенно матрицы обозначают заглавными буквами: А, В, С…
Коротко можно записывать так:
Иоганн Карл Фридрих Гаусс (30 апреля 1777, Брауншвейг — 23 февраля 1855, Гёттинген)
Метод Гаусса
Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Система т линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:
x 1 , x 2 , …, x n – неизвестные.
a i j - коэффициенты при неизвестных.
b i - свободные члены (или правые части)
Типы уравнений
Система линейных уравнений называется совместной , если она имеет решение, и несовместной , если она не имеет решения.
Совместная система называется определенной , если она имеет единственное решение и неопределенной , если она имеет бесчисленное множество решений.
Две совместные системы называются равносильными , если они имеют одно и то же множество решений.
Элементарные преобразования
К элементарным преобразованиям системы отнесем следующее:
- перемена местами двух любых уравнений;
- умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число, отличное от нуля;
- прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое действительное число.
Общий случай
Для простоты рассмотрим метод Гаусса для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными в случае, когда существует единственное решение:
Дана система:
1-ый шаг метода Гаусса
На первом шаге исключим неизвестное х 1 из всех уравнений системы (1), кроме первого. Пусть коэффициент . Назовем его ведущим элементом. Разделим первое уравнение системы (1) на а 11 . Получим уравнение:
где
Исключим х 1 из второго и третьего уравнений системы (1). Для этого вычтем из них уравнение (2), умноженное на коэффициент при х 1 (соответственно а 21 и а 31 ).
Система примет вид:
Верхний индекс (1) указывает, что речь идет о коэффициентах первой преобразованной системы.
(1)
(2)
(3)
2-ой шаг метода Гаусса
На втором шаге исключим неизвестное х 2 из третьего уравнения системы (3) . Пусть коэффициент . Выберем его за ведущий элемент и разделим на него второе уравнение системы (3) , получим уравнение:
где
Из третьего уравнения системы (3) вычтем уравнение (4), умноженное на Получим уравнение:
Предполагая, что находим
(4)
В результате преобразований система приняла вид:
Система вида (5) называется треугольной .
Процесс приведения системы (1) к треугольному виду (5) (шаги 1 и 2 ) называют прямым ходом метода Гаусса .
Нахождение неизвестных из треугольной системы называют обратным ходом метода Гаусса.
Для этого найденное значение х 3 подставляют во второе уравнение системы (5) и находят х 2 . Затем х 2 и х 3 подставляют в первое уравнение и находят х 1 .
(5)
Если в ходе преобразований системы получается противоречивое уравнение вида 0 = b , где b 0, то это означает, что система несовместна и решений не имеет.
В случае совместной системы после преобразований по методу Гаусса, составляющих прямой ход метода, система т линейных уравнений с п неизвестными будет приведена или к треугольному или к ступенчатому виду.
Треугольная система имеет вид:
Такая система имеет единственное
решение, которое находится в
результате проведения обратного хода метода Гаусса.
Ступенчатая система имеет вид:
Такая система имеет бесчисленное
множество решений.
Рассмотрим на примере
- Покажем последовательность решения системы из трех уравнений методом Гаусса
- Поделим первое уравнение на 2, затем вычтем его из второго (a 21 =1, поэтому домножение не требуется) и из третьего, умножив предварительно на a 31 =3
- Поделим второе уравнение полученной системы на 2, а затем вычтем его из третьего, умножив предварительно на 4,5 (коэффициент при x 2 )
Тогда
x 3 =-42/(-14)=3;
x 2 =8-2x3=2
x 1 =8-0,5x2-2x3=1
Метод Крамера
Метод Крамера—способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы. Создан Габриэлем Крамером в 1751 году.
Габриэль Крамер (31 июля 1704, Женева, Швейцария—4 января 1752, Баньоль-сюр-Сез, Франция)
Рассмотрим систему линейных уравнений с квадратной матрицей A , т.е. такую, у которой число уравнений совпадает с числом неизвестных:
Теорема. Cистема
a 11 x 1 +a 12 x 2 +…+a 1n x n =b 1
a 21 x 1 +a 22 x 2 +…+a 2n x n =b 2
… …
a n1 x 1 +a n2 x 2 +…+a nn x n =b n
- a 11 x 1 +a 12 x 2 +…+a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 +…+a 2n x n =b 2 … … a n1 x 1 +a n2 x 2 +…+a nn x n =b n
- a 11 x 1 +a 12 x 2 +…+a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 +…+a 2n x n =b 2 … … a n1 x 1 +a n2 x 2 +…+a nn x n =b n
- a 11 x 1 +a 12 x 2 +…+a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 +…+a 2n x n =b 2 … … a n1 x 1 +a n2 x 2 +…+a nn x n =b n
Имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы отличен от нуля:
a 11 a 12 … a 1n
a 21 a 22 … a 2n
… …
a n1 a n2 … a nn
- a 11 a 12 … a 1n a 21 a 22 … a 2n … … a n1 a n2 … a nn
≠ 0
В этом случае решение можно вычислить по формуле Крамера
Для получения значения x k в числитель ставится определитель, получающийся из det(A) заменой его k- го столбца на столбец правых частей
- Пример. Решить систему уравнений :
Решение.
Найдите оставшиеся компоненты решения.
- Формулы Крамера не представляют практического значения в случае систем с числовыми коэффициентами: вычислять по ним решения конкретных систем линейных уравнений неэффективно, поскольку они требуют вычисления (n+1)-го определителя порядка n , в то время как метод Гаусса фактически эквивалентен вычислению одного определителя порядка n . Тем не менее, теоретическое значение формул Крамера заключается в том, что они дают явное представление решения системы через ее коэффициенты. Например, с их помощью легко может быть доказан результат
- Решение системы линейных уравнений с квадратной матрицей A является непрерывной функцией коэффициентов этой системы при условии, что det A не равно 0 .
Найдите оставшиеся компоненты решения.
- Кроме того, формулы Крамера начинают конкурировать по вычислительной эффективности с методом Гаусса в случае систем, зависящих от параметра.
- зависящей от параметра , определить предел отношения компонент решения:
Решение.
- В этом примере определитель матрицы системы равен . По теореме Крамера система совместна при . Для случая применением метода Гаусса убеждаемся, что система несовместна. Тем не менее, указанный предел существует. Формулы Крамера дают значения компонент решения в виде
и, хотя при каждая из них имеет бесконечный предел, их отношение стремится к пределу конечному.
Ответ.
Приведенный пример поясняет также каким образом система линейных уравнений, непрерывно зависящая от параметра, становится несовместной: при стремлении параметра к какому-то критическому значению (обращающему в нуль определитель матрицы системы) хотя бы одна из компонент решения «уходит на бесконечность».
Использованные источники
- В.С. Щипачев, Высшая математика
- Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов.
- Волков Е.А. Численные методы.
- В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики,том I.