Методика введения темы "Параллельные прямые в пространстве"

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Введем понятие параллельных прямых в пространстве.

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Параллельность прямых a и b обозначается так: .

Какие прямые на рисунке параллельны, а какие не параллельны?

На рисунке прямые a и b параллельны,
а прямые a и c, a и d не параллельны.

Докажем теорему о параллельности прямых.

Теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Что нам дано?

Что нужно доказать?

Доказательство:

1) Каким следствием из аксиомы мы воспользуемся, чтобы доказать, что существует единственная плоскость, которая проходит через прямую и точку, не лежащую на прямой?

Запишем:

(по )

2) Прямая, проходящая через точку параллельно прямой , должна лежать в одной плоскости с точкой и прямой , т.е. должна лежать в плоскости .

Запишем:

Что из этого следует?

3) Но в плоскости , как известно из курса планиметрии, через точку М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна. На рисунке эта прямая обозначена буквой b.

.

Итак, b – единственная прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а.
Теорема доказана.

Дано:

a – прямая

Доказать:

1)

2) b – единственная

Доказательство:

1) Аксиома 1: через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Следовательно .

В дальнейшем нам понадобятся также понятия параллельных отрезков, параллельных отрезка и прямой, параллельных лучей.
Какие два отрезка называются параллельными?

Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, а также параллельность двух лучей.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Какие отрезки на рисунке параллельны, а какие не параллельны?

На рисунке отрезки CD и EF параллельны , а отрезки AB и CD не параллельны, отрезок AB параллелен прямой а .

Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми.
Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Из курса планиметрии известно, что если 3 прямые лежат в одной плоскости и две из них параллельны третьей прямой, то эти две прямые параллельны. Аналогичное утверждение имеет место и для трех прямых в пространстве.

Попробуйте сформулировать это утверждение.

Теорема. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Что нам дано?

Что требуется доказать?

Дано:

Доказать:

Доказательство:

1) Докажем, что прямые a и b лежат в одной плоскости. Отметим какую-нибудь точку К на прямой b и обозначим буквой плоскость, проходящую через прямую а и точку К.

2) Пусть прямая b пересекает плоскость . Значит, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми, прямая c также пересекает плоскость .
Запишем:

Пусть

Что следует из этих утверждений?

3) Но так как прямые а и с параллельны, то и прямая а пересекает плоскость , что невозможно, ибо прямая а лежит в плоскости .

Запишем:

Следовательно?

Получаем противоречие, т.к. .

4) Докажем теперь, что прямые а и b не пересекаются.

Предположим, что они пересекаются.

Запишем:

.

Из этого следует, что через точку их пересечения проходят две прямые (а и b), параллельные прямой с:

Получаем противоречие.

Теорема доказана.

Следовательно (по лемме)

Следовательно (по лемме).

Упражнение 1.
Какие две прямые на плоскости называются параллельными?

Какие две прямые в пространстве называются параллельными?

Упражнение 2.
Что означают слова: «Прямые лежат в одной плоскости»?

Упражнение 3.
Покажите рукой в аудитории прямые, через которые нельзя провести плоскость.

Упражнение 4.

Сколько плоскостей можно провести через две параллельные прямые?

Упражнение 5.
Прямая . Верно ли, что ?

Упражнение 6.

В параллелепипеде A… перечислите все пары параллельных ребер.

Упражнение 7.

Даны две параллельные прямые. Будут ли все прямые, пересекающие обе данные прямые, лежать в одной плоскости? Почему?

Упражнение 8.

Верно ли для пространства утверждение, справедливое на плоскости:
«Две прямые, перпендикулярные двум параллельным прямым, параллельны»?

Упражнение 9.

Сколько пар параллельных ребер имеет:

а) тетраэдр;

б) треугольная призма;

в) октаэдр?

Упражнение 10.

Даны две параллельные прямые и точка, не принадлежащая им. Установите, принадлежит ли точка плоскости этих прямых.