Методическая разработка урока по геометрии по теме «Угол между прямыми и плоскостями»

Цель деятельности учителя

Показать использование скалярного произведения векторов при решении задач на вычисление углов между прямой и плоскостью.

Термины и понятия

Оси абсцисс, ординат, аппликат; координатные векторы, координаты векторов, угол между векторами, длина вектора, ненулевой вектор между прямыми

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют объяснять, как находить угол между векторами, применять основные свойства скалярного произведения векторов при решении задач

Познавательные: умеют создавать, применять и преобразовывать знаково-символические средства, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач.

Регулятивные: понимают сущность алгоритмических предписаний и умеют действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.

Коммуникативные, личностные: умеют формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

1. Теоретический материал урока.

2. Задача для индивидуальной работы.

I этап. Актуализация опорных знаний

Цели: выяснить затруднения обучающихся.

(Ф)

Организуется проверка домашнего задания.

№ 453.

№ 451.

Применим формулу:

a)

II этап. Объяснение новой темы

Цель: ввести понятие ненулевого вектора между прямой и плоскостью

(Ф)

Чтобы вычислить угол между прямой и плоскостью, или между двумя прямыми во многих случаях удобно использовать скалярное произведение. Введем понятие направляющего вектора прямой.

Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой если он лежит либо на прямой , либо на прямой, параллельной

Ни рисунке 1 вектор является направляющим вектором прямой

Рис.1

1) Надо найти угол между двумя прямыми (пересекающимися или скрещивающимися), если известны их координаты направляющих векторов этих прямых.

Решение:

Пусть – направляющие вектора прямых Обозначим буквой искомый угол между этими прямыми. Для решения задачи достаточно найти так как значение позволяет найти угол

Введем обозначение Тогда либо (рис. 2, а), либо (рис.2,б).

Рис.2

Поэтому либо

В любом случае а так как

Используя формулу, получаем

2) Найти угол между прямой и плоскостью, если известны координаты направляющего вектора прямой и координаты ненулевого вектора, перпендикулярного к плоскости.

Решение:

Пусть – направляющий вектор прямой , – ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости . Это означает, что прямая, на которой лежит вектор перпендикулярна к плоскости Обозначим буквой искомый угол между прямой и плоскостью а буквой

Пользуясь рис. 3 (а, б), нетрудно доказать, что

Рис. 3

III этап. Решение задач

Цель: сформировать навыки решения задач по изученной теме

(Ф/И)

1. Решить задачи № 464(а) и 466 (а) на доске и в тетрадях.

2. Решить задачу.

Дан: прямоугольный параллелепипед

Найти: угол между прямыми

№ 464.

№ 466. Обозначим стороны через Введем прямоугольную систему координат с началом в точке Тогда вершины куба имеют координаты:

точки

Решение:

Введем систему координат Рассмотрим направляющие векторы прямых

Пусть – искомый угол,

Ответ:

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

(Ф/И)

– Что нового узнали на уроке?

– По какой формуле можно вычислить угол между векторами? Угол между прямыми?

(И)

Домашнее задание: повторить теорию; решить № 464 (б), 465 (разобран в учебнике), 466 (б, в) и 467 (для сильных обучающихся)