Методическая разработка на тему : "Некоторые свойства прямоугольного треугольника" для 7 классов

Некоторые свойства прямоугольных

Треугольников

Учитель математики МБОУ СОШ № 49

Осипова А.И.

Гипотенуза

Катет

Катет

Сумма углов треугольника равна 180°.

В

С

А

∠ А + ∠ В + ∠ С = 180°

Свойство 1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Доказательство.

А

Пусть ∆ АВС – прямоугольный,

∠ С = 90°.

Так как ∠ А + ∠ В + ∠ С = 180°,

то ∠ А + ∠ В = 180° – ∠ С ,

В

С

∠ А + ∠ В = 90°.

Что и требовалось доказать.

Свойство 2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

А

Доказательство.

Пусть ∆ АВС – прямоугольный,

тогда ∠ В = 60°.

∠ A = 30°,

∠ С = 90°,

30°

30°

Докажем, что ВС = АВ .

∆ АВD – равносторонний,

ВD = AB.

ВС = ВD .

60°

60°

D

В

Следовательно, ВС = АВ .

С

Что и требовалось доказать.

Свойство 3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

А

Доказательство.

ВС = АВ .

Пусть ∆ АВС – прямоугольный,

30°

∆ АВD – равносторонний,

∠ ВАD = 60°.

∠ ВАD = 2∠ ВАC .

Следовательно, ∠ ВАC = 30°.

D

В

С

Что и требовалось доказать.

Задача. Сумма гипотенузы и катета, лежащего против угла в 30°, равна 15 см. Найдите длину гипотенузы.

Решение.

А

Пусть ∆ АВС – прямоугольный,

∠ A = 30°,

ВС + АВ = 15 см.

30°

АВ = 2 ВС .

Получаем 2 ВС + ВС = 15 см,

ВС = 5 см.

3 ВС = 15 см,

В

С

Следовательно, АВ = 10 см.

Ответ: 10 см.

Задача. В прямоугольном треугольнике АВС градусная мера ∠ С равна 90°, а ∠ ВАС равен 60°. Найдите длину катета ВС , если высота СD треугольника АВС равна 5 см.

А

Решение.

∆ АВС – прямоугольный.

∠ AСВ = 90°,

∠ ВAС = 60°,

60°

D

∠ AВС = 30°.

∠ AВС = 90° – 60°,

∆ ВСD – прямоугольный ( СD – высота).

∠ СВD = 30°.

30°

В

С

Следовательно, ВС = 2·5 см = 10 см.

Ответ: 10 см.

Задача. Отрезок СD – высота прямоугольного треугольника АВС с прямым ∠ С , ВС равняется 2 ВD . Докажите, что сторона АВ равна 4 ВD .

А

Доказательство.

∆ ВСD – прямоугольный.

∠ ВCD = 30°,

так как ВС = 2 ВD.

30°

∠ АCВ = 90°,

D

значит, ∠ АCD = 60°.

Так как СD – высота,

60°

то ∆ АСD – прямоугольный,

∠ CАD = 30°.

30°

В

С

∆ АВС:

∠ ВАС = 30°.

Следовательно, АВ = 2 ВС .

Получаем, что АВ = 4 BD .