Материалы для зачета по теме "Основные формулы и теоремы планиметрии"

КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ .

A1. В прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 8 см проведена средняя линия, параллельная его гипотенузе. Найти длину этой средней линии.

1) 4 см; 2) 5 см; 3) 7 см; 4) 5,5 см.

A2. Острый угол параллелограмма равен 30◦, длина одной из его сторон равна 6 см. Найти площадь параллелограмма, если его периметр равен 28 см.

1) 12 см2; 2) 48 см2; 3)24см2; 4)24√3 см2.

A3. Сумма длин оснований трапеции равна 10 см. Найти площадь трапеции, если ее высота равна средней линии трапеции.

1) 25 см2; 2)50см2; 3)100см2; 4)30 см2.

A4. Произведение длин диагоналей параллелограмма равно 14. Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, если его площадь равна 3,5.

1) 75◦; 2)60◦; 3)45◦; 4)30◦.

A5. В круге проведены две пересекающиеся хорды. Длина первой хорды равна 5, а произведение отрезков, на которые делится точкой пересечения вторая хорда, равно 6. Найти длины отрезков первой хорды.

1) 1 и 4; 2) 2 и 3; 3) 1,5 и 3,5; 4) 1,5 и 4.

A6. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит гипотенузу на отрезки с длинами 1 см и 3 см. Найти площадь треугольника.

1) 4√3 см2; 2) √3 см2; 3)2√3 см2; 4)2 см2.

A7. Прямоугольный треугольник вписан в окружность, площадь которой равна 16π см2. Найти площадь треугольника, если один из его катетов на 4 см меньше гипотенузы.

1) 16√3 см2; 2)8√2 см2; 3)16√2 см2; 4)8√3 см2.

A8. Диагональ трапеции, вписанной в окружность, является биссектрисой ее острого угла. Найти периметр трапеции, если длины ее оснований равны 7 и 4 см.

1) 19 см; 2) 35 см; 3) 24 см; 4) 17 см.

A9. Трапеция описана около окружности, длина которой равна 4π см. Найти площадь трапеции, если ее периметр равен 20 см.

1) 10 см2; 2)20 см2; 3)30 см2; 4)40 см2.

A10. Середины сторон выпуклого четырехугольника соединены отрезками прямых. Найти периметр получившегося четырехугольника, если сумма длин диагоналей исходного четырехугольника равна 12 см.

1) 24 см; 2) 18 см; 3) 12 см; 4) 16 см.

B1. Точка A лежит на касательной к окружности, проведенной через точку B окружности, причем AB = 12 см. Найти диаметр окружности, если расстояние от точки A до ее центра равно 13 см.

B2. Две окружности радиусов 2/3 см и 2 см касаются внутренним образом. Определить радиус окружности, касающейся этих окружностей и прямой, соединяющей их центры.

B3. В треугольник ABC с прямым углом C вписан ромб ADEM. Вершина E находится на стороне BC, а вершина M — на стороне AC треугольника, AB = 6, AC = 4. Найти площадь треугольника MCE и площадь ромба.

B4. Длины боковых сторон трапеции равны 6 см и 10 см. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия делит ее на две части, отношение площадей которых равно 5 : 11. Найти длины оснований.

B5. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠BAC = α, ∠CAD = β, BD = a. Найти площадь треугольника BCD.

C1. Через две смежные вершины квадрата проведена окружность так, что длина касательной к окружности, проведенной из третьей вершины квадрата, вдвое больше длины стороны квадрата. Найти площадь квадрата, если расстояние между центрами окружности и квадрата равно 14 см.

C2. Длины боковых сторон прямоугольной трапеции равны 4 см и 5 см. Известно, что некоторая прямая, параллельная основаниям трапеции, делит ее на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Найти площадь данной трапеции.

C3. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Точка M лежит на стороне EF. Найти отношение FM : ME, если известно, что прямая BM делит площадь шестиугольника в отношении 3 : 5.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ ПЛАНИМЕТРИИ

1. Признаки равенства треугольников.

2. Свойства средней линии треугольника.

3. Свойства биссектрисы.

4. Свойства медианы.

5. Свойства высот.

6. Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

7. Теорема синусов.

8. Теорема косинусов.

9. Теорема Пифагора.

10. Признаки подобия треугольников.

11. Свойства подобных треугольников.

12. Свойства касательных к окружности.

13. Вписанный угол (β).

14. Угол (β), образуемый касательной и хордой, проведенной из

точки касания.

15. Когда вокруг четырехугольника можно описать окружность.

16. Когда в четырехугольник можно вписать окружность.

17. Метрические соотношения в круге.

18. Формулы для площади треугольника.

20. Формулы для площади параллелограмма.

21. Трапеция:

а) средняя линия трапеции

б) площадь трапеции

22. Площадь круга.

23. Площадь сектора.

24. Площадь сегмента.

25. Площадь описанного многоугольника.

Вариант 1

1. Найти углы треугольника ABC, если ∠A : ∠B : ∠C = 3 : 5 : 7.

2. Длины двух сторон треугольника равны 2,1 см и 0,9 см. Найти его периметр, если известно, что длина третьей стороны треугольника выражается целым числом.

3. Гипотенуза прямоугольного треугольника на 8 см больше одного из катетов и на 1 см больше другого катета. Найти периметр треугольника.

4. Найти периметр равнобедренного треугольника, если длина его боковой стороны равна 15 см, а длина биссектрисы угла, лежащего против основания, равна 12 см.

5. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 3 см, а один из его острых углов равен 60◦. Найти высоту треугольника, опущенную на гипотенузу.

6. В квадрат вписана окружность с радиусом 6√6 см. Найти длину окружности, описанной около этого квадрата.

7. В прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 15 см вписан

8. Острый угол ромба равен 60◦, длина противолежащей ему диагонали равна 2a. Найти периметр и площадь ромба. единичного радиуса. Найти длину стороны ромба.

9. В параллелограмме ABCD высота, проведенная из вершины B, делит основание AD пополам. Периметр параллелограмма равен 38 см и превышает периметр треугольника ABD на 10 см. Найти диагональ BD и длины сторон параллелограмма..

10. Вычислить площадь и периметр прямоугольной трапеции с основаниями 7 см и 3 см и острым углом в 60◦.

11. Стороны одного четырехугольника относятся между собой как 2 : 3 : 5 : 8. В подобном ему четырехугольнике сумма наибольшей и наименьшей сторон равна 60 см. Найти все стороны второго четырехугольника.

Вариант 2

1. Первый и второй углы треугольника относятся, как 5 : 7.

Третий угол на 26градусов 26минут больше первого. Найти третий угол.

2. Сторона AB треугольника ABC вдвое меньше стороны AC, а сторона BC, на 20 см меньше стороны AC. Найти периметр треугольника ABC, если AB = 34 см.

3. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше одного из катетов на 32 дм и больше другого на 9 дм. Найти площадь треугольника.

4. Периметр равнобедренного треугольника равен 24 дм. Найти высоты треугольника, если его боковая сторона меньше основания на 15 см.

5. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 4√6 см. Найти площадь круга, вписанного в этот треугольник.

лежит вне треугольника.

6. В квадрат ABCD вписана окружность с радиусом R, которая касается стороны CD в точке E. Найти длину хорды, лежащей на прямой AE.

7. Углы, образуемые стороной ромба с его диагоналями, относятся, как 5: 4. Найти углы ромба.

8. Биссектриса острого угла параллелограмма делит его диагональ на отрезки длиной 3,2 см и 8,8 см. Найти стороны параллелограмма, если его периметр равен 30 см.

9. В прямоугольной трапеции длины оснований равны 5 см и 15 см, а острый угол равен α. Найти площадь трапеции.

10. Точка K пересечения диагоналей AC и BD вписанного в окружность четырехугольника ABCD делит диагональ BD пополам. Найти длину диагонали BD, если AK = 18, CK = 8.

Вариант 3

1. Внешний угол треугольника равен 92 градуса 24минуты, а внутренние углы, не смежные с ним, относятся, как 2 : 5. Найти эти углы.

2. Периметр треугольника равен 24 см, а одна из сторон равна 9 см. Найти две другие стороны, если их разность равна 2,3 см.

3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 52 см, а отношение длин его катетов равно 5 : 12. Найти площадь треугольника.

4. Высота равнобедренного треугольника, опущенная на его основание, равна 14 см. Найти длины всех сторон треугольника, если его основание относится к боковой стороне, как 48 : 25.

5. Около равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна 8√3 см и основание равно 24 см, описана окружность. Найти радиус этой окружности.

6. Квадрат со стороной 7√2 см вписан в окружность. Найти сторону правильного треугольника, в который вписана эта же окружность.

7. Найти диагональ прямоугольника, если его периметр равен 34 см, а периметр одного из треугольников, на которые диагональ разделила прямоугольник, равен 30 см.

8. Периметр ромба равен 8 см, длина одной из диагоналей ромба равна 2,4 см. Найти длину второй диагонали.

9. В параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает продолжение стороны BC в точке E. Найти периметр параллелограмма, если BE = 16 см, CE = 5 см.

10. В прямоугольной трапеции из вершины тупого угла на основание опущена высота, осекающая от трапеции треугольник и квадрат, площади которых равны S и a2 соответственно. Найти длину средней линии трапеции.

11. Точка K пересечения диагоналей AC и BD вписанного в окружность четырехугольника ABCD делит диагональ BD пополам. Найти длину диагонали BD, если AK = 18, CK = 8.

Вариант 4

1. Один острый угол прямоугольного треугольника составляет 2/3 другого острого угла. Найти эти углы.

2. Основание равнобедренного треугольника равно 24 см. Медиана, проведенная к боковой стороне, разбивает данный треугольник на два треугольника так, что периметр одного из них на 6 см больше периметра другого. Найти боковую сторону данного треугольника.

3. Площадь прямоугольного треугольника равна 720 см2, а катеты относятся как 9 : 40. Найти гипотенузу треугольника.

4. Внутри угла в 60◦ расположена точка на расстояниях 3 см и 5 см от его сторон. Найти расстояние от этой точки до биссектрисы угла.

5. Определить длину радиуса окружности, описанной около равнобедренного треугольника, если длина его боковой стороны равна 12 см, а длина высоты, проведенной к основанию, равна 9 см.

6. В прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 15 см вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найти периметр квадрата.

7. Площадь прямоугольника равна 1 см2, а диагональ равна 2 см. Найти острый угол между его диагоналями.

8. Найти площадь ромба, если его диагонали равны 72 см и 40 см.

9. Периметр параллелограмма равен 90 см, острый угол равен 60◦. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол на части в отношении 1 : 3. Найти длину наибольшей стороны параллелограмма.

10. Около окружности описана прямоугольная трапеция с острым углом 30◦. Найти диаметр окружности, если периметр трапеции равен P.

11. Наибольшие стороны двух подобных многоугольников равны 35 м и 14 м, а разность их периметров равна 60 м. Определить периметры многоугольников.

Вариант 5

1. Найти углы равнобедренного треугольника, если внешний угол при его основании в пять раз больше угла при вершине.

2. Треугольники ABC и A1B1C1 подобны, AB = 6 см, BC = 15 см, AC = 19,50 см. Наибольшая сторона треугольника A1B1C1 равна 13 см. Найти две другие стороны треугольника A1B1C1.

3. Проекции катетов прямоугольного треугольника на гипотенузу равны 9 см и 16 см. Найти стороны треугольника.

4. Найти наибольшую высоту треугольника со сторонами 15 мм, 112 мм, 113 мм.

5. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, равна 20 см. Найти радиус окружности, вписанной в данный треугольник, если его основание относится к боковой стороне, как 4 : 3.

6 В окружность, радиус которой равен 17 см, вписан прямоугольник. Найти площадь прямоугольника, если отношение его сторон равно 15 : 8.

7. Найти длины сторон параллелограмма, если длины его диагоналей равны 6 см и 4√3 см, а угол между диагоналями равен 30◦.

8. Основание равнобедренного треугольника имеет длину 3 см. Прямая, параллельная основанию, отсекает от треугольника равнобедренную трапецию с боковой стороной и основанием, равными 2 см. Определить длину боковой стороны треугольника.

9. Правильный шестиугольнике о стороной 10 √3 см описан около окружности. Найти площадь квадрата, вписанного в эту же окружность.

Вариант 6

1. Найти углы равнобедренного треугольника, если один из его внешних углов равен 114◦.

2. В треугольнике ABC со сторонами AB = 10 см, AC = 15 см проведена прямая MN, пересекающая стороны AB и AC в точк ах M и N. Будет ли прямая MN параллельна основанию BC, если а) AN = MB = 6 см? б) AN = MB = 7 см?

3. Найти площадь прямоугольного треугольника, если его высота делит гипотенузу на отрезки, длины которых равны 32 см и 18 см.

4. Найти наименьшую высоту треугольника со сторонами 25 см, 29 см, 36 см.

5. Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равен R, а каждый из углов при основании треугольника равен α. Найти периметр треугольника.

6. Сумма длин диагоналей прямоугольника равна 16 см. Найти площадь круга, описанного около прямоугольника.

7. В окружность, радиус которой равен 17 см, вписан прямоугольник. 7.A105. В параллелограмме ABCD длина стороны AB равна 42 см. На стороне BC взята точка E так, что BE : EC = 5 : 7, и проведена прямая DE, пересекающая продолжение AB в точке F. Найти длину отрезка BF.

8. Длина боковой стороны равнобедренной трапеции равна ее средней линии, а периметр трапеции равен 24 см. Найти длину боковой стороны.

9. Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен 8√3 см. Найти диаметр окружности, описанной около этого шестиугольника.