Материализованный и внешнеречевой уровни сформированности деятельности в классе задач на движение.

Материализованный и внешнеречевой уровни сформированности деятельности в классе задач на движение.

Исследуем процесс формирования деятельности по решению класса задач К₁ на движение со следующими характеристиками:

1. задачи на движение ;

2. в задачах участвуют 3 движущихся объекта;

3. скорости объектов относительно независимы и постоянны;

4. в задачах рассматриваются 3 ситуации равновесия;

5. в задачах составляются 3 уравнения – модели каждой из ситуаций;

6. система трёх уравнений выступает моделью задачи;

7. интерпретация решений системы осуществляется на конкретных числовых множествах.

Материализованный уровень формирования деятельности представлен субъекту в форме конкретной задачи класса К₁.

Задача . Три пловца должны проплыть из пункта А в пункт В и обратно. Сначала стартует первый, через 5 секунд – второй, ещё через 5 секунд – третий. Некоторую точку С между А и В все пловцы миновали одновременно. Третий пловец доплыл до В и повернув назад встретил второго в 9 метрах от В, а первого – в 15 метрах от В. Найдите скорость третьего, если расстояние АВ равно 55 метрам.

Решение задачи (последовательность действий):

1. Объект 1 – пловец 1 со временем t (с), скоростью V(м/с), расстоянием S (м) и связью S=Vt.

2. Объект 2 – пловец 2 со временем t (с), скоростью V(м/с), расстоянием S (м) и связью S=Vt.

3. Объект 3 – пловец 3 со временем t (с), скоростью V(м/с), расстоянием S (м) и связью S=Vt.

4. В ситуации I («Сначала стартует первый, через 5 секунд – второй, ещё через 5 секунд – третий. Некоторую точку С между А и В все пловцы миновали одновременно») время 1 пловца на 5с больше времени 2, время 1 пловца на 10с больше времени 3, время 2 пловца на 5с больше времени 3, S₁=S₂=S₃.

5. В ситуации II («Третий пловец доплыл до В и повернув назад встретил второго в 9 метрах от В») время 2 пловца на 5с больше времени 3, S₂=46м, S₃=64м.

6. В ситуации III («Третий пловец доплыл до В и повернув назад встретил первого в 15 метрах от В») время 1 пловца на 10с больше времени 3, S₁=40м, S₃=70м.

7. Цель – поиск скоростей движения пловцов. Скорости пловцов будут независимы и иметь некоторые постоянные значения.

8. Переменные x(м/с), y(м/с) ,z(м/с) – скорости движения первого, второго, третьего пловцов соответственно.

9. Анализ связи 1, 2, 3 пловцов в ситуации I на языке переменных:

S₁= x∙t

S₂= y∙(t-5), S₁=S₂

S₃= z∙(t-10), S₁=S₃

1. Система уравнений определяет уравнение - модель ситуации I , описанной в действии 4.

2. Анализ связи 1, 2, 3 пловцов в ситуации II на языке переменных: t₂= , t ₃= , t₂-t₃=5.

3. Уравнение = 5 - модель ситуации II, описанной в действии 5.

4. Анализ связи 1, 2, 3 пловцов в ситуации III на языке переменных: t₁= , t ₃= , t₁-t₃=10.

5. Уравнение = 10 - модель ситуации III, описанной в действии 6.

6. Переменные x, y, z – одни и те же скорости в ситуациях I, II, III. Их значения являются решением каждого из уравнений.

7. Моделью каждой из ситуаций I, II, III выступает система:

8. Найдём решение системы трёх рациональных уравнений с тремя переменными на основе общего метода решения.

9. Решаем данную систему.

10. z=1

x= 1/2

y=2/3

1. (м/с, м/с, 1 м/с) набор скоростей, удовлетворяющих решению задачи.

Анализ решения задачи позволяет установить следующую систему действий по решению всякой задачи на движение класса К₁ - общий способ решения:

1. Выделим динамические характеристики ( S, V, t) с их единицами измерения для 1 объекта движения.

2. Выделим динамические характеристики ( S, V, t) с их единицами измерения для 2 объекта движения.

3. Выделим динамические характеристики ( S, V, t) с их единицами измерения для 3 объекта движения.

4. В относительно изолированном фрагменте задачи зафиксируем ситуацию I взаимной связи динамических характеристик 1,2,3 объектов.

5. В другом относительно изолированном фрагменте задачи зафиксируем ситуацию II взаимной связи динамических характеристик 1,2,3 объектов.

6. В следующем относительно изолированном фрагменте задачи зафиксируем ситуацию III взаимной связи динамических характеристик 1,2,3 объектов.

7. Поставим цель – поиск неизвестных динамических характеристик (скоростей) на зафиксированном множестве значений, удовлетворяющих каждой из трёх выделенных ситуаций.

8. В качестве независимых переменных x, y, z выберем одни и те же неизвестные динамические характеристики каждого из объектов с фиксированием единиц измерения их значений.

9. В установленной ситуации I с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик 1 и 2 объектов.

10. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации I математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными.

11. В установленной ситуации II с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик 1 и 3 объектов.

12. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации II математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными.

13. В установленной ситуации III с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик 2 и 3 объектов.

14. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации III математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными.

15. Характеризуем неизвестные наборы значений переменных как решение каждого из уравнений, и значит решения системы рациональных уравнений.

16. Строим математическую модель всех ситуаций данной задачи – систему трёх рациональных уравнений с тремя переменными.

17. Поставим задачу – решение системы трёх рациональных уравнений с тремя переменными.

18. Актуализируем общий метод решения системы трёх рациональных уравнений с тремя переменными.

19. Решаем построенную систему рациональных уравнений в соответствии с общим методом решения рациональных систем.

20. Интерпретируем все решения системы в содержании данной задачи.

21. В качестве решения задачи фиксируем те наборы значений, которые удовлетворяют условию исходной задачи с указанием единиц измерения.

22. В процессе решения задач на движение основными этапами являются:

A) описание каждой из трёх ситуаций на языке динамических характеристик

B) сведение к уравнениям в ситуациях I, II, III, к системе, её решение и интерпретация

C) описание ситуаций с помощью математических моделей – рациональных уравнений

D) решение системы уравнений и отбор решений задачи.

Внешнеречевой уровень сформированности деятельности в классе задач К₁ на движение характеризуется включённостью общего способа деятельности вместе с процессом его конкретизации в системе следующих задач:

1. Установить общий способ решения в классе задач К₁ на движение в системе последовательных действий.

2. Провести конкретизацию каждого действия общего способа решения в содержании следующей задачи:

Задача. Три мотоциклиста стартуют одновременно из одной точки кольцевого шоссе в одном направлении. Первый мотоциклист впервые догнал второго, сделав 4,5 круга после старта, а за полчаса до этого он догнал третьего мотоциклиста. Второй мотоциклист впервые догнал третьего через 3 часа после старта. Сколько кругов в час делает первый мотоциклист?

Решение:

1. о. Выделим динамические характеристики ( S, V, t) с их единицами измерения для 1 объекта движения.

к. У первого мотоциклиста выделим его скорость, время, путь с единицами измерения- круг/час, час, круг соответственно. Установим связь: S=V∙t.

1. о. Выделим динамические характеристики ( S, V, t) с их единицами измерения для 2 объекта движения.

к. У второго мотоциклиста выделим его скорость, время, путь с единицами измерения- круг/час, час, круг соответственно. Установим связь: S=V∙t.

1. о. Выделим динамические характеристики ( S, V, t) с их единицами измерения для 3 объекта движения.

к. У третьего мотоциклиста выделим его скорость, время, путь с единицами измерения- круг/час, час, круг соответственно. Установим связь: S=V∙t.

1. о. В относительно изолированном фрагменте задачи зафиксируем ситуацию I взаимной связи динамических характеристик 1, 2, 3 объектов.

к. В относительно изолированном фрагменте задачи : «первый мотоциклист впервые догнал второго, сделав 4,5 круга после старта» зафиксируем ситуацию I взаимной связи 1 и 2 мотоциклистов:

1. о. В другом относительно изолированном фрагменте задачи зафиксируем ситуацию II взаимной связи динамических характеристик 1, 2, 3 объектов.

к. В другом относительно изолированном фрагменте задачи: «за полчаса до этого первый мотоциклист догнал третьего мотоциклиста» зафиксируем ситуацию II взаимной связи 1 и 3 мотоциклистов:

1. о. В следующем относительно изолированном фрагменте задачи зафиксируем ситуацию III взаимной связи динамических характеристик 1, 2, 3 объектов.

к. В следующем относительно изолированном фрагменте задачи: «второй мотоциклист впервые догнал третьего через 3 часа после старта» зафиксируем ситуацию II взаимной связи 2 и 3 мотоциклистов:

1. о. Поставим цель – поиск неизвестных динамических характеристик (скоростей) на зафиксированном множестве значений, удовлетворяющих каждой из трёх выделенных ситуаций.

к. Поставим цель – поиск неизвестных скоростей мотоциклистов, измеряемых в (круг/час), удовлетворяющих каждой из трёх выделенных ситуаций.

1. о. В качестве независимых переменных x, y, z выберем одни и те же неизвестные динамические характеристики каждого из объектов с фиксированием единиц измерения их значений.

к. В качестве независимых переменных x, y, z выберем скорость 1, 2. 3 мотоциклистов соответственно. Зафиксируем единицы измерения независимых переменных x, y, z – круг/час.

1. о. В установленной ситуации I с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик 1 и 2 объектов.

к. В установленной ситуации I с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик 1 и 2 мотоциклистов:

1. о. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации I математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными.

к. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации I математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными:

4.5− y =1

1. о. В установленной ситуации II с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик 1 и 3 объектов.

к. В установленной ситуации II с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик 1 и 3 мотоциклистов:

1. о. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации II математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными.

к. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации II математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными:

x() − z() = 2

1. о. В установленной ситуации III с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик 2 и 3 объектов.

к. В установленной ситуации III с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик 2 и 3 мотоциклистов:

1. о. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации III математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными.

к. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации III математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными:

3y-3z=1

1. о. Характеризуем неизвестные наборы значений переменных как решение каждого из уравнений, и значит решения системы рациональных уравнений.

к. Характеризуем неизвестные наборы значений переменных как решение каждого из уравнений, и значит решения системы рациональных уравнений.

1. о. Строим математическую модель всех ситуаций данной задачи – систему трёх рациональных уравнений с тремя переменными.

к. Строим математическую модель всех ситуаций данной задачи – систему трёх рациональных уравнений с тремя переменными:

(*)

1. о. Поставим задачу – решение системы трёх рациональных уравнений с тремя переменными.

к. Поставим задачу – решение системы (*) трёх рациональных уравнений с тремя переменными.

1. о. Актуализируем общий метод решения системы трёх рациональных уравнений с тремя переменными.

к. Актуализируем общий метод решения системы трёх рациональных уравнений с тремя переменными.

1. о. Решаем построенную систему рациональных уравнений в соответствии с общим методом решения рациональных систем.

к. Решаем построенную систему (*) рациональных уравнений в соответствии с общим методом решения рациональных систем:

1) Из первого уравнения выразим x через y:

2) Из третьего уравнения выразим z через y:

3) Упростим второе уравнение:

4) Выражения переменных x и z через переменную y подставим во второе уравнение и решим его:

y₁= -3.5

y₂ = 2

(-4.5, -3.5, -3 ) - первое решение системы

( 3, 2 ,2) – второе решение системы

1. о. Интерпретируем все решения системы в содержании данной задачи.

к. Так как скорости мотоциклистов положительны, то набор (-4.5, -3.5, -3) не удовлетворяет условию задачи, а набор ( 3, 2 ,2) удовлетворяет условию задачи.

1. о. В качестве решения задачи фиксируем те наборы значений, которые удовлетворяют условию исходной задачи с указанием единиц измерения.

к. В качестве решения задачи фиксируем набор (3, 2 ,2), который удовлетворяет условию задачи с единицами измерения (круг/час).

1. о. и к. В процессе решения задач на движение основными этапами являются:

A) описание каждой из трёх ситуаций на языке динамических характеристик

B) сведение к уравнениям в ситуациях I, II, III - к системе, её решение и интерпретация

C) описание ситуаций с помощью математических моделей – рациональных уравнений

D) решение системы уравнений и отбор решений задачи

9