Математика. Задачи на последовательности и их решения.

А что такое последовательность? Последовательность – это когда что-то расположено за чем-то. Например, последовательность действий, последовательность времён года. Или когда кто-то расположен за кем-то. Например, последовательность людей в очереди, последовательность слонов на тропе к водопою.

Немедленно проясним характерные признаки последовательности. Во-первых, члены последовательности располагаются строго в определённом порядке. Так, если  двух человек в очереди поменять местами, то это уже будет другая последовательность. Во-вторых, каждому члену последовательности можно присвоить порядковый номер:

С числами всё аналогично. Пусть каждому натуральному значению  по некоторому правилу поставлено в соответствие действительное число . Тогда говорят, что задана числовая последовательность .

Да, в математических задачах в отличие от жизненных ситуаций последовательность почти всегда содержит бесконечно много чисел.

При этом:  называют первым членом последовательности;  – вторым членом последовательности;  – третьим членом последовательности; …  – энным или общим членом последовательности; …

На практике последовательность обычно задаётся формулой общего члена, например:   – последовательность положительных чётных чисел:

Таким образом, запись  однозначно определяет все члены последовательности – это и есть то правило (формула), по которому натуральным значениям  в соответствие ставятся числа . Поэтому последовательность часто коротко обозначают общим членом, причём вместо «икс» могут использоваться другие латинские буквы, например:

Последовательность положительных нечётных чисел :

Ещё одна распространённая последовательность :

Как, наверное, многие подметили, переменная «эн» играет роль своеобразного счётчика.

На самом деле с числовыми последовательностями мы имели дело ещё в средних классах школы. Вспомним арифметическую прогрессию. Определение переписывать не буду, коснёмся самой сути на конкретном примере. Пусть  – первый член, а  – шагарифметической прогрессии. Тогда:  – второй член данной прогрессии;  – третий член данной прогрессии;  – четвертый;  – пятый; … И, очевидно, энный член задаётся рекуррентной формулой  

Примечание: в рекуррентной формуле каждый следующий член выражается через предыдущий член или даже через целое множество предыдущих членов.

Полученная формула малопригодна на практике – чтобы добраться, скажем, до , нужно перебрать все предыдущие члены. И в математике выведено более удобное выражение энного члена арифметической прогрессии: . В нашем случае:

Подставьте в формулу  натуральные номера  и проверьте правильность построенной выше числовой последовательности.

Аналогичные выкладки можно провести для геометрической прогрессии, энный член которой задаётся формулой , где  – первый член , а  – знаменательпрогрессии . В заданиях по матану первый член частенько равен единице.

Примеры:

прогрессия  задаёт последовательность ; прогрессия  задаёт последовательность ; прогрессия  задаёт последовательность ; прогрессия  задаёт последовательность .

Надеюсь, все знают, что –1 в нечётной степени равно  –1, а в чётной – единице.

Прогрессию называют бесконечно убывающей, если  (последние два случая).

Давайте добавим в свой список двух новых друзей, один из которых только что постучался в матрицу монитора:

Последовательность  на математическом жаргоне называют «мигалкой»: 

Таким образом, члены последовательности могут повторяться. Так, в рассмотренном примере последовательность состоит из двух бесконечно чередующихся чисел.

А бывает ли так, что последовательность состоит из одинаковых чисел? Конечно. Например,  задаёт бесконечное количество «троек». Для эстетов есть случай, когда в формуле всё же формально фигурирует «эн»: 

Факториал:   Всего лишь свёрнутая запись произведения:

Отнюдь не графомания, пригодится для задач ;-) Рекомендую осмыслить-запомнить и даже переписать в тетрадь. …Пришёл тут в голову один вопрос: а почему никто не создаёт такие полезные граффити? Едет себе человек в поезде, смотрит в окно и изучает факториалы. Панки отдыхают =)

Возможно, некоторым читателям всё-таки ещё не до конца понятно, как расписать члены последовательности, зная общий член. Тот редкий случай, когда контрольный выстрел возвращает к жизни:

Разберёмся с последовательностью .

Сначала подставим в энный член значение  и внимательно проведём вычисления:

Далее подставим в общий член :

Потом подставим следующий номер :

Четвёрку:

Чего уж, теперь и отличную отметку не зазорно заработать:

и так далее… 

Задача. Все трехзначные числа записаны в ряд: 100 101 102 ..... 998 999. Сколько раз в этом ряду после двойки идет нуль?

Решение.

 Так как трехзначное число не может начинаться с нуля, то двойка, после которой идет нуль, не может стоять в разряде единиц одного из трехзначных чисел ряда. Пусть двойка стоит в разряде десятков трехзначного числа. Тогда идущий за ней нуль стоит в разряде единиц того же числа, т.е. это число оканчивается на 20. Таких чисел 9: 120, 220, ........, 920. Наконец, если двойка, после которой идет нуль, стоит в разряде сотен, то соответствующее трехзначное число начинается на 20. Таких чисел 10: 200, 201, ...., 209. Таким образом, всего после двойки нуль будет встречаться 19 раз.

Ответ: 19