Математика. Задачи. Хорды, касательные и секущие.

CO=24 Ответ:24 А D 4 12 ? О 8 B C № 2. Решение: CO∙OD=AO∙OB CO=CD-OD=18-4=14 14 ∙4=8 ∙OB, =OB=7 Ответ:7 A D OB=? 4 8 О 18 B C " width="640"

№ 1.

Решение:

Отрезки пересекающихся хорд

связаны соотношением:

AO∙OB=CO∙OD

12 ∙8=CO ∙4, = CO=24

Ответ:24

А

D

4

12

?

О

8

B

C

№ 2.

Решение:

CO∙OD=AO∙OB

CO=CD-OD=18-4=14

14 ∙4=8 ∙OB, =OB=7

Ответ:7

A

D

OB=?

4

8

О

18

B

C

x=28 OD=28,OB=49-28=21 Ответ: 28 и 21 A AO:CO=4:3 OD+OB=49 D O B C " width="640"

№ 3.

Решение:

CO 1 ∙O 1 D=AO 1 ∙O 1 B

OD=CO(как радиус)

O 1 D=OD-OO 1 =11-7=4

O 1 C=O 1 O+OC=7+11=18

O 1 B=x, AO 1 =18-x

CO 1 ∙O 1 D=AO 1 ∙O 1 B

x ∙(18-x)=4 ∙18

x 2 -18 x+72=0, O 1 B=6,AO 1 =12

Ответ: 6 и 12

A

D

?

7

?

O 1

O

11

B

C

№ 4.

Решение:

AO∙OB=CO ∙OD AO:CO=OD:OB

4:3=x(49-x)

4(49-x)=3x

196=7x = x=28 OD=28,OB=49-28=21

Ответ: 28 и 21

A

AO:CO=4:3

OD+OB=49

D

O

B

C

∆ ABC – равнобедренный № 6. ∠ B= ∠ C=45º, ∠ B+ ∠ C=90º = ∠ A=180º-90º=90º sin45 º=AC/BC = √2/2=AC/4√2 = AC=4 =AB=4 Ответ: 4 и 4 A ? ? C 45º B " width="640"

A

№ 5.

Решение:

Отрезки касательных проведенных из

одной точки равны:

AB=AC

• AB=8 Ответ: 8

?

8

C

B

Решение:

AB=AC= ∆ ABC – равнобедренный

№ 6.

∠ B= ∠ C=45º, ∠ B+ ∠ C=90º =

∠ A=180º-90º=90º

sin45 º=AC/BC = √2/2=AC/4√2 =

AC=4 =AB=4 Ответ: 4 и 4

A

?

?

C

45º

B

CC 1 =BB 1 =AC 1 -AC=20-7=13 Ответ: 7 и 13 A ? 7 C B ? C 1 B 1 Решение: AC=AC 1 +C 1 K+KC AB 1 =AC 1 =7 K 1 B 1 =K 1 D 1 =3 KD 1 =KC 1 =KK 1 -K 1 D 1 =13-3=10 K 1 B=K 1 D 1 +D 1 D (1) KC 1 =KD+DD 1 (2) AB 1 +B 1 K 1 +K 1 B=AC 1 +C 1 K+KC(3) учитывая K 1 B 1 =K 1 D 1 , KD=KC, AB 1 =AC 1 и (2) в (3) AC 1 +K 1 D 1 +(K 1 D 1 +D 1 D)=AC 1 +(KD+DD 1 )+KD 2K 1 D 1 =2KD =KD=KC=3 =AC=7+10+3=20 Ответ: 20 A № 8. AB 1 =7 B 1 K 1 =3 KK 1 =13 AC - ? C 1 B 1 K 1 D 1 K D B C " width="640"

20

№ 7.

Решение:

AC 1 =AB 1 =20 AB=AC=7 =

CC 1 =BB 1 =AC 1 -AC=20-7=13

Ответ: 7 и 13

A

?

7

C

B

?

C 1

B 1

Решение:

AC=AC 1 +C 1 K+KC

AB 1 =AC 1 =7

K 1 B 1 =K 1 D 1 =3

KD 1 =KC 1 =KK 1 -K 1 D 1 =13-3=10

K 1 B=K 1 D 1 +D 1 D (1) KC 1 =KD+DD 1 (2)

AB 1 +B 1 K 1 +K 1 B=AC 1 +C 1 K+KC(3)

учитывая K 1 B 1 =K 1 D 1 , KD=KC, AB 1 =AC 1

• и (2) в (3)

AC 1 +K 1 D 1 +(K 1 D 1 +D 1 D)=AC 1 +(KD+DD 1 )+KD

2K 1 D 1 =2KD =KD=KC=3 =AC=7+10+3=20

Ответ: 20

A

№ 8.

AB 1 =7

B 1 K 1 =3

KK 1 =13

AC - ?

C 1

B 1

K 1

D 1

K

D

B

C

AB=10 Ответ: 10 A № 9. 5 ? C B 15 D Решение: ∆ BDC, ∠ С= 90º, по т.Пифагора: DC 2 =DB 2 -BC 2 =100-36=64 = D=8 Пусть AC=x, тогда AD=8+x AB 2 =AC ∙AD AB 2 =AC 2 +BC 2 AC ∙AD=AC 2 +BC 2 x(8+x)=x 2 +36 8x+x 2 =x 2 +36 =8x=36 =x=4,5 AC=4,5 AD=8+4,5=12,5 AB 2 =4,5 ∙12,5 =AB=7,5 Ответ: 7,5 A № 10. ? C 6 B D 10 " width="640"

Решение:

Квадрат отрезка касательной равен

произведению отрезков секущей,

проведенной из той же точки:

AB 2 =AC∙AD AB 2 =5∙20 =AB=10

Ответ: 10

A

№ 9.

5

?

C

B

15

D

Решение:

∆ BDC, ∠ С= 90º, по т.Пифагора:

DC 2 =DB 2 -BC 2 =100-36=64 = D=8

Пусть AC=x, тогда AD=8+x

AB 2 =AC ∙AD

AB 2 =AC 2 +BC 2

AC ∙AD=AC 2 +BC 2

x(8+x)=x 2 +36

8x+x 2 =x 2 +36 =8x=36 =x=4,5

AC=4,5 AD=8+4,5=12,5

AB 2 =4,5 ∙12,5 =AB=7,5

Ответ: 7,5

A

№ 10.

?

C

6

B

D

10

AB/AD=AC/AB, по условию AC/AB=3 =AD/AB=1/3 AD/AB=(AC-DC)/AB= AC/AB - DC/AB=3-DC/AB=1/3 = DC/AB=3-1/3=2 2 / 3 ; DC= 8 / 3 AB Ответ: в 2 2 / 3 раза AC=3AB Во сколько раз DC длиннее AB? C D A B Решение: C 2 D 1 =C 2 B 2 +B 2 B 1 +D 1 B 1 C 2 B 1 ∙C 2 D 1 =C 2 C 1 2 и D 1 B 2 ∙D 1 C 2 =D 1 D 2 2 Поскольку C 1 C 2 =D 1 D 2 , то C 2 B 1 =D 1 B 2 =C 2 B 2 =D 1 B 1 =3 C 2 C 1 2 =C 2 B 1 ∙C 2 D 1 B 2 B 1 =x, тогда C 2 B 1 =x+3, C 2 D 1 =x+6 √ 154=(x+3)(x+6) 154=x 2 +9x+18 x=8 = C 2 D 1 =3+8+3=14 Ответ: 14 № 12. C 2 D 1 - ? C 2 3 C 1 B 2 B 1 A D 1 D 2 " width="640"

№ 11.

Решение:

AB 2 =AC∙AD =

AB/AD=AC/AB, по условию

AC/AB=3 =AD/AB=1/3

AD/AB=(AC-DC)/AB=

AC/AB - DC/AB=3-DC/AB=1/3 =

DC/AB=3-1/3=2 2 / 3 ; DC= 8 / 3 AB

Ответ: в 2 2 / 3 раза

AC=3AB

Во сколько раз

DC длиннее AB?

C

D

A

B

Решение:

C 2 D 1 =C 2 B 2 +B 2 B 1 +D 1 B 1

C 2 B 1 ∙C 2 D 1 =C 2 C 1 2 и D 1 B 2 ∙D 1 C 2 =D 1 D 2 2

Поскольку C 1 C 2 =D 1 D 2 , то C 2 B 1 =D 1 B 2 =C 2 B 2 =D 1 B 1 =3

C 2 C 1 2 =C 2 B 1 ∙C 2 D 1

B 2 B 1 =x, тогда C 2 B 1 =x+3, C 2 D 1 =x+6

√ 154=(x+3)(x+6)

154=x 2 +9x+18

x=8 = C 2 D 1 =3+8+3=14

Ответ: 14

№ 12.

C 2 D 1 - ?

C 2

3

C 1

B 2

B 1

A

D 1

D 2

C F " width="640"

№ 13.

A

Решение:

Произведения отрезков секущих

проведенных из одной точки, равны:

AB∙AC=AD∙AE

4 ∙AC=6 ∙8

AC=12 Ответ: 12

AC - ?

4

6

B

D

2

E

C

Решение:

S ∆ ABF ½AB ∙AF ∙sinA 1

S ∆ ADC ½ AD ∙AC ∙sinA 4

AF ∙AD=AB ∙AC

AB AF AB AF 1 AB 1

AD AC AD AC 4 AD 2

Ответ: 1/2

№ 14.

A

S ∆ ABF 1

S ∆ ADC 4

AB

AD

D

B

?

∙

=

C

F