Математика. Уравнения в целых числах. Задачи + решения.

Диофант – ученый – алгебраист Древней Греции, по некоторым данным он жил до 364 года н. э. Он специализировался на решении задач в целых числах. Отсюда и пошло название Диофантовы уравнения. Наиболее известной, решенной Диофантом, является задача «о разложении на два квадрата». Ее эквивалентом является известная всем теорема Пифагора. Жизнь и деятельность Диофанта протекала в Александрии, он собирал и решал известные и придумывал новые задачи. Позднее он объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть сохранились до Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения.«Арифметика» Диофанта — это сборник задач, каждая включает в себя решение и необходимое пояснение. В собрание входят разнообразные задачи, а их решение часто в высшей степени остроумно. Диофанта интересуют только положительные целые и рациональные решения. Иррациональные решения он называет «невозможными» и тщательно подбирает коэффициенты так, чтобы получились искомые положительные, рациональные решения.

Для решения уравнений в целых числах применяется теорема Ферма. История доказательства которой достаточно интересная. Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков, и эти усилия привели к получению многих результатов современной теории чисел. Считается, что теорема стоит на первом месте по количеству неверных доказательств.

Замечательный французский математик Пьер Ферма высказал утверждение, что уравнение при целом n ≥ 3 не имеет решений в целых положительных числах x, y, z ( xyz = 0 исключается положительностью x, y, z.Для случая n = 3 эту теорему в X веке пытался доказать среднеазиатский математик ал-Ходжанди, но его доказательство не сохранилось. Несколько позже сам Ферма опубликовал доказательство частного случая для n = 4.

Эйлер в 1770 доказал теорему для случая n = 3, Дирихле и Лежандр в 1825 — для n = 5,Ламе — для n = 7. Куммер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100, за возможным исключением 37, 59, 67.

В 1980-х годах появился новый подход к решению проблемы. Из гипотезы Морделла, доказанной Фальтингсом в 1983 году, следует, что уравнение при n > 3 может иметь лишь конечное число взаимно простых решений.

Последний, но самый важный, шаг в доказательстве теоремы был сделан в сентябре 1994 года Уайлсом. Его 130-страничное доказательство было опубликовано в журнале «AnnalsofMathematics». Доказательство основано на предположении немецкого математика Герхарда Фрая о том, что Великая теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы — Симуры (это предположение было доказано Кеном Рибетом при участии Ж.‑П.Серра. ).Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году (после 7 лет напряжённой работы), но в нём вскоре обнаружился серьёзный пробел; с помощью Ричарда Лоуренса Тейлора пробел удалось достаточно быстро ликвидировать. В 1995 году был опубликован завершающий вариант. 15 марта 2016 года Эндрю Уайлз получает премию Абеля. В настоящее время премия составляет 6 миллионов норвежских крон, то есть примерно 50 миллионов рублей. По словам Уайлса, присуждение премии стало для него «полной неожиданностью».

Теоремы о числе решений линейного диофантового уравнения

Приведем здесь формулировки теорем, на основании которых может быть составлен алгоритм решения неопределенных уравнений первой степени от двух переменных в целых числах.

Теорема 1. Если в уравнении (ax + by) = 1,  (a,b) = 1, то уравнение имеет, по крайней мере, одно решение.

Теорема 2. Если в уравнении (ax + by) = с , (a,b) = d >1  и с не делится на d , то уравнение целых решений не имеет.

Теорема 3. Если в уравнении (ax + by) = с , (a,b) = d >1 , и  d⋮c, то оно равносильно уравнению (a₁x + b₁y) = 1 , в котором (a₁,b₁) = 1.

Теорема 4. Если в уравнении (ax + by) = 1, (a,b) = 1, то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

x = x₀c + bt

y = y₀c - at

где х₀ , у₀ – целое решение уравнения  (ax + by) = 1,  t- любое целое число.

Cформулируем на основании этих теорем алгоритм решения уравнения

Алгоритм решения уравнения в целых числах

Сформулированные теоремы позволяют составить следующий алгоритм решения в целых числах уравнения вида (ax + by) = с .

1. Найти наибольший общий делитель чисел a и b ,

если (a,b) = d >1  и с не делится на d , то уравнение целых решений не имеет;

если (a,b) = d >1  и  c⋮d , то переходим к этапу 2.

2. Разделить почленно уравнение (ax + by) = с  на d, получив при этом уравнение (a₁x + b₁y) = c₁ , в котором (a₁,b₁) = 1.

3. Найти целое решение (х₀ , у₀ ) уравнения (a₁x + b₁y) = 1 путем представления 1 как линейной комбинации чисел  a и b ;

4. Составить общую формулу целых решений данного уравнения

x = x₀c + bt

y = y₀c - at

где х₀ , у₀ – целое решение уравнения (ax + by) = 1, t- любое целое число.

Способы решения уравнений

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

1. Алгоритм Евклида.

2. Способ перебора вариантов.

3. Метод разложения на множители.

4. Метод остатков.

5. Решение уравнений в целых числах как квадратных относительно какой-либо переменной.

6. Цепные дроби.

7. Метод бесконечного спуска.