Математика. Тренировка № 1. Уравнения в целых числах. Задания + решения.

Математика. Тренировка № 1. Уравнения в целых числах. Задания + решения.

Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.

Теоремы о числе решений линейного диофантового уравнения

Теоремы, на основании которых может быть составлен алгоритм решения неопределенных уравнений первой степени от двух переменных в целых числах:

Теорема 1. Если в уравнении (ax + by) = 1,  (a,b) = 1, то уравнение имеет, по крайней мере, одно решение.

Теорема 2. Если в уравнении (ax + by) = с , (a,b) = d >1  и с не делится на d , то уравнение целых решений не имеет.

Теорема 3. Если в уравнении (ax + by) = с , (a,b) = d >1 , и  d⋮c, то оно равносильно уравнению (a₁x + b₁y) = 1 , в котором (a₁,b₁) = 1.

Теорема 4. Если в уравнении (ax + by) = 1, (a,b) = 1, то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

x = x₀c + bt

y = y₀c - at

где х₀ , у₀ – целое решение уравнения  (ax + by) = 1,  t- любое целое число.