Математика. Различные задачи на построение + примеры с решениями.

Задачи на построение — это задачи, в которых с помощью циркуля и линейки требуется выполнить то или иное построение, изобразив определенную геометрическую фигуру по ее заданным элементам.

Задачей на построение называют такую задачу, в которой требуется построить с помощью указанных чертёжных инструментов некоторую фигуру, если задана некоторая другая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры.

Этапы решения задачи на построение.

Основные (простейшие) построения.

Задачи на построение на плоскости с помощью циркуля и линейки решаются с опорой на следующие условия (постулаты построения):

1. Через любые две заданные точки на плоскости можно провести прямую (возможность применения линейки). С помощью линейки нельзя проводить параллельные прямые, т. к. считается, что у линейки только один ровный край, и нельзя измерять отрезки, т. к. предполагается, что у линейки нет делений

2. Из любого центра можно описать окружность радиусом, равным длине любого наперед заданного отрезка (возможность применения циркуля).

Решение задачи на построение на плоскости, как правило, состоит из четырех этапов.

1. Анализ задачи. Анализ задачи проводят с целью поиска ее решения. Для проведения анализа предполагают, что данная задача решена, требуемая геометрическая фигура построена и разыскивают между ее элементами зависимости, которые позволяют свести данную задачу к другим, известным ранее.

2. Построение. Точно указывается последовательность построений, которые необходимо выполнить для решения задачи. Этот перечень построений должен сопровождаться и фактическим выполнением чертежа при помощи циркуля и линейки. 

3. Доказательство. На основании известных теорем производится доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет всем условиям задачи.

4. Исследование. Необходимо дать ответ на два вопроса:

1) всегда ли задача имеет решение (т. е. надо определить условия, при которых задача имеет решение и при которых — нет);

2) сколько различных решений имеет задача при каждом возможном выборе данных. Чтобы получить ответ на эти вопросы, удобно проводить исследование по ходу построения, это значит, нужно еще раз последовательно рассмотреть те построения, которые были выполнены, и для каждого из них определить, всегда ли это построение можно выполнить, и сколько результатов может дать это построение.

Основные (простейшие) построения

К основным (простейшим) построениям отнесем задачи, которые служат основой для выполнения других, более сложных.

1. Построить отрезок, равный данному.

2. Построить угол, равный данному.

3. Разделить данный отрезок пополам.

4. Построить биссектрису данного угла.

5. Через данную точку провести прямую, параллельную данной прямой.

6. Из данной точки, не принадлежащей данной прямой, опустить перпендикуляр на эту прямую.

7. Из данной точки, лежащей на прямой, восстановить перпендикуляр к прямой.

8. Построить треугольник по трем сторонам (т. е. построить треугольник, стороны которого были бы равны трем заданным отрезкам).

9. Построить треугольник по трем сторонам и заключенному между ними углу (т. е. построить треугольник, две стороны которого и угол, заключенный между ними, были равны двум заданным отрезкам и заданному углу соответственно).

10. Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам (т. е. построить треугольник, сторона которого и два прилежащих к ней угла были бы равны отрезку и двум заданным углам соответственно).

11. Разделить данный отрезок в данном отношении.