Мастер-класс "Обучение решению задач на проценты"

ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ

Мастер-класс

Цель:

• показать эффективные методы и приемы изучения темы «Проценты» в основной школе.

Проблемы:

• Понятие целого и его частей неправильно сформировано в начальной школе.
• Формирование понятия «процента» происходит в 5-6 классах, дальнейшее его развитие происходит периодически, т. к. связано со способами действий.
• Недостаточно используется символическая наглядность, как при формировании понятия процента, так и при изучении основных типов задач.

Основные этапы в изучении темы «Проценты»:

Решение задач с помощью прогрессий.

Решение задач с помощью уравнений.

Решение более сложных в техническом отношении задач.

Основные задачи на проценты,

решаемые арифметически.

Формирование понимания процента

как специального способа выражения доли величины.

Формирование понимания процента как специального способа выражения доли величины.

• Упражнения, направленные на осознанное усвоение материала:

Для каждой фразы из левого столбца подберите соответствующую фразу в правом:

1. 100% учащихся школы а) половина всех учащихся школы

2. 25% учащихся школы б) все учащиеся школы

3. 10% учащихся школы в) четверть всех учащихся

4. 50% учащихся школы г) десятая часть всех учащихся.

• Задания, в которых требуется заштриховать, закрасить, начертить, вырезать часть фигуры.

Какая часть прямоугольника заштрихована?

Выразите эту часть в процентах.

в)

а)

б)

г)

• Неявное использование процентов

(типично для средств массовой информации).

Объясните, используя слово «процент», что означают следующие утверждения:

а) 10 москвичей из каждых 100 нуждаются в улучшении жилья;

б) 43 человека из каждых 100 доверяют гороскопам и постоянно читают их;

в) из каждых 100 новорожденных 52 – мальчики;

г) из каждых 100 жителей Брянска 25 имеют домашних животных.

• Формулировки некоторых задач в развернутом виде, т.е. к рассматриваемому в условии сюжету поставлены не один, а несколько вопросов.

Средняя пенсия в России составляет 6000 р. К 2010 году она увеличится на 30%.

• На сколько рублей увеличится пенсия?
• Какой она станет к концу 2010 года?

5. Специальная серия задач посвящена трудному вопросу об увеличении на 200%, 300% и т.д. Так учащиеся постепенно подходят к пониманию того, что, например, увеличение на 100% - это тоже самое, что увеличение в 2 раза и т.д.

• Соедините стрелками утверждения, означающие одно и то же

Расходы увеличились в 1,5 раза

Расходы уменьшились в 1,5 раза

Расходы увеличились на 100%

Расходы увеличились наполовину

Расходы увеличились на 50%

Расходы увеличились вдвое

Расходы уменьшились на 50%

Расходы уменьшились наполовину

Расходы уменьшились на 30%

Расходы уменьшились вдвое

Расходы уменьшились примерно на треть

Расходы удвоились

• Какие из утверждений означают одно и то же?

Разнесите их по соответствующим столбцам.

Величины относятся как 1:2

Величины относятся как 1:4

Одна величина вдвое меньше другой

Одна величина в 4 раза меньше другой

Одна величина составляет от другой 50 %

Вторая величина на 300 % больше первой

Вторая величина на 100 % больше первой

Первая величина на 75 % меньше второй

Первая величина на 300 % меньше второй

Первая величина составляет от второй 25 %

Решить задачу:

• В двух библиотеках было одинаковое количество книг. Через год в первой библиотеке число книг увеличилось на 50%, а во второй – в 1,5 раза. В какой библиотеке книг стало больше?

Основные задачи на проценты, решаемые арифметически

• Усвоение некоторых эквивалентов:
• Усвоение некоторых эквивалентов:
• Усвоение некоторых эквивалентов:
• Усвоение некоторых эквивалентов:

• 25 % величины – это ¼ данной величины;
• половина некоторой величины – это 50% ;
• 30% величины втрое больше, чем 10% и т.п.

дробь

десятичная дробь

1/4

проценты

1/10

0,5

1/50

20%

0,05

100%

1 %

0,25

1/10

Реставрационная мастерская

70 %

Даны квадраты , ответить на вопросы.

• Какая часть квадрата заштрихована?
• Выразите заштрихованную часть десятичной дробью.
• Сколько процентов квадрата заштриховано?
• Сколько процентов квадрата не заштриховано?

Основные задачи на проценты:

1. Нахождение процента от числа:

Дробь от числа хотим найти?

Не надо мам тревожить.

Нам надо данное число

На эту дробь умножить.

80%

?

200

Основные задачи на проценты:

2. Нахождение числа по его дроби

Коль число по части вдруг

Отыскать решите,

То на данную вам дробь

Часть ту разделите.

80%

160

?

Основные задачи на проценты:

3. Что показывает частное двух чисел?

• 3. Что показывает частное двух чисел?
• 3. Что показывает частное двух чисел?
• 3. Что показывает частное двух чисел?

?

160

200

Общие формулы:

• P% от A→A∙(P/100)
• B – это P%, тогда 100% → B:(P/100)
• А от В,→(A/B)∙100%
• А увеличить на Р% → A+A∙(P/100)=A∙(1+P/100)
• А уменьшить на Р% → A-A∙(P/100)=A∙(1-P/100)

где А, В – некоторые величины.

Проценты

17%

Число, соответствующее этим процентам

20%

Целое число

34

90

400

450

Важно!

Формировать умение делать прикидку или оценку результата вычислений.

• Перед Новым годом магазин снизил цены на товары на 25%. На сколько примерно рублей понизилась цена товара, если до снижения она составляла

799 руб.? 1980 руб.? 11890 руб.?

• Часть фигуры заштрихована. Определите, какой примерно процент фигуры заштрихован, выбрав наиболее подходящий ответ из данных.

а) 40%

б) 50%

а) 40%

б ) 60%

в) 80%

а) 10%

б) 40%

в) 60%

• Плата за коммунальные услуги составляет 800 рублей. Сколько придется платить за коммунальные услуги после их подорожания на 6 %?

а) 48 р. б) 480 р. в) 806 р. г) 848 р.

Решение более сложных в техническом отношении задач

После повышения цены на 30% книга стала стоить 52 рубля.

Сколько стоила книга до повышения цены?

Решение . Первоначальная цена книги составляет 100%. Поэтому 52 руб., т.е. цена после подорожания, составляет 100%+30%=130% от первоначальной цены. Теперь можно решить задачу на нахождение величины по известному ее проценту.

Рассуждать можно по-разному:

1% – это 52: 130=0,4(руб.), а 100% – это 0,4* 100=40(руб.);

10% – 52:13=4(руб.), 100% – это 4*10=40(руб.);

130% – это 1,3, поэтому 52 руб. составляют 1,3 первоначальной цены, а поэтому первоначальная цена равна 52:1,3=40(руб.).

• Книга дороже альбома на 25%. На сколько процентов альбом дешевле книги? Вся методика обучения решению задач, принятая в учебнике, позволяет показать учащимся наглядный способ их решений с помощью рисунков (см. рис. 5). Хотя, конечно, эти задачи можно решать и арифметически.

Решение : Цена альбома – 100%. Изобразим ее каким–либо отрезком. Увеличим этот отрезок на 25% т.е. на его части; получим отрезок, соответствующий цене книги.

Теперь цена книги составляет 100%. Она изображена большим отрезком. Цена альбома меньше цены книги на этого отрезка. Так как составляет 20%, то альбом дешевле книги на 20%.

Цена книги – 100%

Цена альбома – 100%

Цена альбома

Цена книги

на 25% больше

на 20% меньше

В России 150 миллионов жителей. 70% всех жителей – городское население. Из них 23% – дети до 16 лет.

Сколько детей до 16 лет среди городского населения?

Для решения задачи можно привести рисунок. Нужно обсудить с учащимися действия решения задачи.

Найти число городского населения из числа всех жителей России.

Из числа городских жителей найти число детей до 16 лет.

70%

100%

23%

Дети до 16 лет

Жители России

Городское население

Ответ : 24,15 миллионов.

Решение задач с помощью уравнений

Решение задач с помощью пропорций

В сахарной свекле содержится 18.5% сахара. Сколько сахара содержится в 38,5 т сахарной свеклы?

100 %

38 т

18,5 %

X т

В лыжной секции занимаются 80 учащихся. Среди них 32 девочки. Какой процент участников секции составляют девочки?

100 %

80 уч

X %

32уч

Весной при проведении работ по озеленению города на улице посадили липы. Принялось 95% всех лип. Сколько посадили лип, если принялось 57 лип?

100 %

X лип

57 лип

95 %

Решение задач с помощью уравнений

Решение задач с помощью линейных уравнений

За первый год предприятие увеличило выпуск продукции на 20%. В следующем году выпуск увеличился на 15%.

На сколько процентов вырос выпуск продукции по сравнению с первоначальным?

X 1.2х * 1.15 =1.38х.

Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20%.

На сколько процентов необходимо теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть первоначального уровня?

Х 0,8х р*0,8х=х р=1,25.

Цену на товар сначала увеличили на 30%, затем через некоторое время снизили на 30%.

Сравните первоначальную и новую цену товара.

Х 1.3х 1.3х*0,7= 0,91х.

Решение задач с помощью уравнений

Задачи на смеси и сплавы

Сколько граммов воды надо добавить к 80 г раствора, содержащего 15% соли, чтобы получить 12% раствор?

соль

соль

H 2 O

H 2 O

H 2 O

15%

12%

х г

(80+ x ) г

80 г

(X+80)∙0,12=80∙0,15

Сколько граммов 30% -го раствора соли надо добавить к 80 г 12% - го раствора этой же соли, чтобы получить 20% раствор?

H 2 O

соль

H 2 O

H 2 O

соль

соль

30%

70 %

80%

20%

88%

12%

x г

80 г

(х+80) г

0,3х + 0,12∙80 = 0,2(х +80)

Решение задач с помощью уравнений

Задачи, решаемые с помощью систем.

Имеется лом стали двух сортов, причем первый сорт содержит 10% никеля, а второй 30%. На сколько тонн больше стали второго сорта нужно взять, чем первого, чтобы получить 200 т стали с содержанием никеля 25%?

Для решения этой задачи лучше составить систему уравнений.

никель

никель

никель

X+Y=200

10%

25%

30%

0,1∙X+0,3∙Y=50

X т

Y т

200 т

В колбу налили некоторое количество 60%-го раствора соли и некоторое количество 80%-го раствора этой же соли. Получили 35 мл раствора, содержащего 72% соли. Сколько миллилитров каждого раствора налили в колбу?

Решите задачу, используя следующий план:

• Обозначьте буквами количество 60%-го и 80%-го растворов соли.
• Запишите уравнение, связывающее эти две величины и общее количество раствора.
• Определите количество соли в получившемся растворе.
• Запишите уравнение, связывающее количество соли в 60%-ном, 80%-ном и получившихся растворах.
• Составьте систему и решите ее.

Решение задач с помощью прогрессий

Задача 1: Пешеход перешел улицу в неположенном месте, и милиционер наложил на него штраф в 100 р. Штраф необходимо уплатить до 5 марта, после чего за каждый просроченный день будет начисляться пеня (от латинского слова poena – наказание) в размере 2% от суммы штрафа. Сколько придется заплатить пешеходу, если он просрочит уплату штрафа на 10 дней?

Величина штрафа будет расти в арифметической прогрессии, где

а 1 =100; d=100∙0,02=2; а 11 =100 + 10∙2 =120 р.

Ответ: 120 р.

Решение задач с помощью прогрессий

Задача 2: Начальный вклад клиента сбербанка составил 100 тыс. рублей. Зная, что процентная ставка сбербанка 10% годовых, определить, какая сумма будет на счете этого клиента:

через год; через 2 года; через 5 лет; через 6 лет?

Задача 3: Цена товара была дважды снижена на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 2000 рублей, а окончательная 1805 рублей?

2000 2000q 2000q²

2000q²=1805; q²=0,9025; q=0,95; 1- 0,95= 0,05= 5%