Логарифмы и их свойства

МБУ «Нижнедевицкая гимназия»

учитель математики

Быканова Людмила Ивановна

Логарифмы и их свойства

Возведение в степень имеет два обратных действия. Если

а х = b,

то отыскание a есть одно обратное действие – извлечение корня; нахождение же b – другое ,

Л о г а р и ф м и р о в а н и е.

Для чего были придуманы логарифмы ?

Конечно, для ускорения и упрощения вычислений .

Изобретатель первых логарифмических таблиц, Непер, так говорил о своих побуждениях:

Непер

« Я старался, насколько мог и умел, отделаться от трудности и скуки вычислений, докучность которых обычно отпугивает весьма многих от изучения математики».

Современник Непера, Бригг, прославившийся позднее изобретением десятичных логарифмов, писал, получив сочинение Непера:

«Своими новыми и удивительными логарифмами Непер заставил меня усиленно работать и головой и руками. Я надеюсь увидеть его летом, так как никогда не читал книги, которая нравилась бы мне больше и приводила бы в большее изумление».

Бригг осуществил свое намерение и направился в Шотландию, чтобы посетить изобретателя логарифмов. При встрече Бригг сказал:

«Милорд, я предпринял это долгое путешествие только для того, чтобы видеть Вашу особу и узнать, с помощью какого инструмента разума и изобретательности Вы пришли впервые к мысли об этом превосходном пособии для астрономов, а именно – логарифмах; но, милорд, после того, как Вы нашли их, я удивляюсь, почему никто не нашел их раньше, настолько легкими они кажутся после того, как о них узнаёшь».

Великий математик говорил об астрономах, так как им приходится делать особенно сложные и утомительные вычисления. Но слова его с полным правом могут быть отнесены ко всем вообще, кому приходится иметь дело с числовыми выкладками.

0, а ≠1). Вспомните уравнение из первого слайда: а х = b Мы оговорили, что нахождение b – логарифмирование. Математики договорились записывать это так: Log a b = x (читается: «логарифм b по основанию a»). Например, log 5 25 = 2, так как 5 2 = 25. Log 4 (1/16) = - 2, так как 4 -2 = 1/16. Log 1/3 27 = - 3, так как (1/3) – 3 = 27. Log 81 9 = ½, так как 81 ½ = 9. 3 " width="640"

О П Р Е Д Е Л Е Н И Е.

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a , чтобы получить b (где а 0, а ≠1).

Вспомните уравнение из первого слайда: а х = b

Мы оговорили, что нахождение b – логарифмирование. Математики договорились записывать это так:

Log a b = x

(читается: «логарифм b по основанию a»).

Например,

log 5 25 = 2, так как 5 2 = 25.

Log 4 (1/16) = - 2, так как 4 -2 = 1/16.

Log 1/3 27 = - 3, так как (1/3) – 3 = 27.

Log 81 9 = ½, так как 81 ½ = 9.

3

Вычислить :

Log 2 16; log 2 64; log 2 2;

Log 2 1 ; log 2 (1/2); log 2 (1/8);

Log 3 27; log 3 81; log 3 3;

Log 3 1; log 3 (1/9); log 3 (1/3);

Log 1/2 1/32; log 1/2 4; log 0,5 0,125;

Log 0/5 (1/2); log 0,5 1; log 1/2 2.

Правильное решение примеров 1 столбца:

Log 2 16 = 4, так как 2 4 = 16.

Log 2 1 = 0, так как 2 0 = 1.

Log 3 27 = 3, так как 3 3 = 27.

Log ½ 1/32 = 5, так как (1/2) 5 = 1/32.

Log 0,5 (1/2) = 1, так как (0,5) 1 = (1/2) 1 = ½.

Проверьте 2 и 3 столбец, исправьте ошибки самостоятельно. Если появились вопросы – обратитесь к учителю.

Сравните со своими ответами !

Таблица ответов.

4

6

0

3

-1

1

4

0

-3

-2

1

5

-2

-1

1

3

0

-1

Log 2 16; log 2 64; log 2 2;

Log 2 1 ; log 2 (1/2); log 2 (1/8);

Log 3 27; log 3 81; log 3 3;

Log 3 1; log 3 (1/9); log 3 (1/3);

Log 1/2 1/32; log 1/2 4; log 0,5 0,125;

Log 0,5 (1/2); log 0,5 1; log 1/2 2.

Дальше

Десятичный логарифм - это логарифм по основанию

Обозначение:

Натуральный логарифм – это логарифм по основанию е

(е - иррациональное число, приближенное значение которого: е=2,7.

Обозначение:

Основное логарифмическое тождество

, где

Например: 2 log 2 6 = 6;

3 – 2 log3 5 = (3 log 3 5 ) – 2 = 5 – 2 = 1/25.

Вычислите:

3 log 3 18 ; 3 5log 3 2 ;

5 log 5 16 ; 0,3 2log 0,3 6 ;

10 log 10 2 ; (1/4) log (1/4) 6 ;

8 log 2 5 ; 9 log 3 12 .

Сравните со своими ответами !

Таблица ответов:

3 log 3 18 ; 3 5log 3 2 ;

5 log 5 16 ; 0,3 2log 0,3 6 ;

10 log 10 2 ; (1/4) log (1/4) 6 ;

8 log 2 5 ; 9 log 3 12 .

18

32

16

36

2

6

125

144

Свойства логарифмов

Логарифм единицы

Логарифм произведения положительных чисел

Логарифм частного положительных чисел

Логарифм степени положительных чисел

Формула перехода от одного основания логарифма к другому

Следствия

Формула перехода к десятичным и натуральным логарифмам

Устный счет

Вычислите:

log 4 64=

5 2 •5 log 5 3 =

lg1=

lg0,1 =

log 3 81=

lоg 7 7 =

log 1/2 16=

log 12 √ 144

lg 3 √100=

log 1/3 1/81=

log 1/2 1/32=

lоg 5 125

log 2 3 √2=

log 1/7 49

lg0,001 =

log 2 log 3 81=

lg10000=

log 2 log 5 625=

Приведем примеры применения формул:

• Log 6 18 + log 6 2 = log 6 (18·2) = log 6 36 = 2
• Log 12 48 – log 12 4 = log 12 (48/4) = log 12 12 = 1

А здесь выполните вычисления самостоятельно:

Log 10 5 + log 10 2;

Log 12 2 + log 12 72;

Log 2 15 – log 2 (15/16);

Log 1/3 54 – log 1/3 2;

Log 5 75 – log 5 3;

Log 8 (1/16) – log 8 32;

Log 8 12 – log 8 15 + log 8 20;

Log 9 15 + log 9 18 – log 9 10;

Примеры выполнения некоторых заданий…

И таблица ответов:

1

2

4

-3

2

-3

4/3

3/2

Log 10 5 + log 10 2 = log 10 (5 . 2) = log 10 10 = 1

Log 1/3 54 – log 1/3 2 = log 1/3 (54/2) = log 1/3 27 = -3

Log 8 12 – log 8 15 + log 8 20 = log 8 (12/15) + log 8 20 =

= log 8 (4/5 . 20) = log 8 16 = 2

Остальные задания проверьте самостоятельно. Если появился вопрос, обратитесь к учителю.

Домашнее задание.

Глава 7,п.1,2 №766,767,780,788

« СЧИТАЙ НЕСЧАСТНЫМ ТОТ ДЕНЬ ИЛИ ЧАС, В КОТОРЫЙ ТЫ НЕ УСВОИЛ НИЧЕГО НОВОГО И НИЧЕГО НЕ ПРИБАВИЛ К СВОЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ.»

Я. А. КОМЕНСКИЙ.

СПАСИБО ЗА УРОК!