Дата проведения:
Группа:
Тема: «Логарифмы и их свойства».
Цели и задачи урока:
Образовательная: рассмотреть понятие логарифма числа и свойства логарифмов;
овладеть знаниями и умениями использовать основное логарифмическое тождество, формулы перехода от одного основания к другому в процессе решения упражнений;
Развивающая: развивать мышление учащихся при выполнении упражнений;
научить учащихся определять логарифм числа и его свойства;
Воспитательная: воспитать интерес к уроку.
Тип урока: усвоение новых знаний.
Методическое обеспечение: учебники, индивидуальные карточки.
Литература: учебник математики 10 кл. Колмогоров А.Н.
Ход занятия
1. Организационный момент
Перед началом урока преподаватель проводит проверку подготовленности кабинета к занятию.
Сообщается тема и цель урока.
2. Актуализация знаний
В кратком вступительном слове преподаватель акцентирует внимание студентов о важной
роли логарифмов в курсе математики.
3. Повторение ранее изученного материала
Опрос
Преподаватель задает вопросы:
1) Что такое степень; что такое основание степени; что такое показатель степени.
2) Работа над основными свойствами степеней. Рассмотреть связь между показателями степеней в равенствах
3) Решить устно примеры:
4. Изучение нового материала
План
1. Логарифм числа. Основные свойства логарифмов.
2. Основное логарифмическое тождество.
3. Формула перехода одного основания логарифмов к другому.
Преподаватель излагает новый учебный материал
Логарифм числа
Понятие логарифма числа связано с решением показательных уравнений.
Остановимся на решении двух показательных уравнений. Решение уравнения не вызывает труда. Так как то данное уравнение примет вид Поэтому уравнение имеет единственное решение
А теперь попробуем решить уравнение По теореме о корне это уравнение также имеет единственное решение. Однако, в отличие от предыдущего уравнения, это уравнение является иррациональным числом. Докажем, что корень данного уравнения является числом рациональным, т.е. Тогда выполняется равенство или Но в любой натуральной степени будет числом четным, а в любой натуральной степени – число нечетное. Получаем противоречие, которое и доказывает, что корень уравнения – число иррациональное. Обдумывая, ситуацию с показательным уравнением математики ввели в рассмотрение новый символ – логарифм. С помощью этого символа корень уравнения записали так: (читается : логарифм числа по основанию
Остановимся теперь на понятии логарифма числа. Очень часто приходится решать задачу: известно, что необходимо найти показатель степени т.е. решить задачу, обратную возведению числа в степень. При нахождении этого показателя степени и возникает понятие логарифма числа по основанию
дается определение логарифма
Например
а) log 3 81 = 4, так как 34 = 81;
б) log 5 125 = 3, так как 53 = 125;
в) log 0,5 16 = -4, так как (0,5)-4 = 16;
г) , так как ==
Введение основного логарифмического тождества
Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество:
( где b >0, a > 0 иa ≠ 1)
Согласно тождеству:
=5; .
Рассмотрим =8
Обратите внимание на то, что является корнем уравнения , а поэтому =8
Таким образом и получается основное логарифмическое тождество
Это равенство является краткой символической записью определения логарифмов.
Решить примеры согласно тождеству: ;
=5; .
Подчеркнем, что и одна и та же математическая модель
Операцию нахождения логарифма числа называют ЛОГАРИФМИРОВАНИЕМ. Эта операция является обратной по отношению к возведению в степень с соответствующим основанием.
По определению соотношения y = ax и x = loga y при условии, что a > 0 и a ≠ 1, эквиваленты. Переход от первого равенства ко второму называется логарифмированием , а переход от второго к первому – потенцированием.
Например:
- логарифмируя равенство: ,получаем log 1/2
- потенцируя равенство: , log2 8 = 3, будем иметь 23 = 8
Сравните.
Основные свойства логарифмов
Эти свойства вытекают из определения логарифма и свойств показательной функции.
При любом a > 0 (a 1) и любых положительных x и y выполнены равенства:
- loga 1 = 0.
- loga a = 1.
- loga xy = loga x + loga y.
- loga = loga x - loga y.
- loga xp = p loga x
для любого действительного p.
Решить примеры устно. Найти x
- Ответ:
- Ответ:
- Ответ:
- Ответ:
- Ответ:
Упростить выражения:
a)
б)
в)
Ответ. a) ; б); в)
5. Закрепление изученного материала
Найти логарифм по основанию a числа представленного в виде степени с основанием a
Упростите выражения, пользуясь основным логарифмическим тождеством.
Выполнить упражнения. Работа по индивидуальным карточкам.
Просмотр содержимого документа
«Логарифмы и их свойства»
Дата проведения:
Группа:
Тема: «Логарифмы и их свойства».
Цели и задачи урока:
Образовательная: рассмотреть понятие логарифма числа и свойства логарифмов;
овладеть знаниями и умениями использовать основное логарифмическое тождество, формулы перехода от одного основания к другому в процессе решения упражнений;
Развивающая: развивать мышление учащихся при выполнении упражнений;
научить учащихся определять логарифм числа и его свойства;
Воспитательная: воспитать интерес к уроку.
Тип урока: усвоение новых знаний.
Методическое обеспечение: учебники, индивидуальные карточки.
Литература: учебник математики 10 кл. Колмогоров А.Н.
Ход занятия
1. Организационный момент
Перед началом урока преподаватель проводит проверку подготовленности кабинета к занятию.
Сообщается тема и цель урока.
2. Актуализация знаний
В кратком вступительном слове преподаватель акцентирует внимание студентов о важной
роли логарифмов в курсе математики.
3. Повторение ранее изученного материала
Опрос
Преподаватель задает вопросы:
1) Что такое степень; что такое основание степени; что такое показатель степени.
2) Работа над основными свойствами степеней. Рассмотреть связь между показателями степеней в равенствах
3) Решить устно примеры:
4. Изучение нового материала
План
1. Логарифм числа. Основные свойства логарифмов.
2. Основное логарифмическое тождество.
3. Формула перехода одного основания логарифмов к другому.
Преподаватель излагает новый учебный материал
Логарифм числа
Понятие логарифма числа связано с решением показательных уравнений.
Остановимся на решении двух показательных уравнений. Решение уравнения не вызывает труда. Так как то данное уравнение примет вид Поэтому уравнение имеет единственное решение
А теперь попробуем решить уравнение По теореме о корне это уравнение также имеет единственное решение. Однако, в отличие от предыдущего уравнения, это уравнение является иррациональным числом. Докажем, что корень данного уравнения является числом рациональным, т.е. Тогда выполняется равенство или Но в любой натуральной степени будет числом четным, а в любой натуральной степени – число нечетное. Получаем противоречие, которое и доказывает, что корень уравнения – число иррациональное. Обдумывая, ситуацию с показательным уравнением математики ввели в рассмотрение новый символ – логарифм. С помощью этого символа корень уравнения записали так: (читается : логарифм числа по основанию
Остановимся теперь на понятии логарифма числа. Очень часто приходится решать задачу: известно, что необходимо найти показатель степени т.е. решить задачу, обратную возведению числа в степень. При нахождении этого показателя степени и возникает понятие логарифма числа по основанию
дается определение логарифма
Например
а) log 3 81 = 4, так как 34 = 81;
б) log 5 125 = 3, так как 53 = 125;
в) log 0,5 16 = -4, так как (0,5)-4 = 16;
г) , так как = =
Введение основного логарифмического тождества
Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество:
( где b 0, a 0 иa ≠ 1)
Согласно тождеству:
=5; .
Рассмотрим =8
Обратите внимание на то, что является корнем уравнения , а поэтому =8
Таким образом и получается основное логарифмическое тождество
Это равенство является краткой символической записью определения логарифмов.
Решить примеры согласно тождеству: ;
=5; .
Подчеркнем, что и одна и та же математическая модель
Операцию нахождения логарифма числа называют ЛОГАРИФМИРОВАНИЕМ. Эта операция является обратной по отношению к возведению в степень с соответствующим основанием.
По определению соотношения y = ax и x = loga y при условии, что a 0 и a ≠ 1, эквиваленты. Переход от первого равенства ко второму называется логарифмированием , а переход от второго к первому – потенцированием.
Например:
логарифмируя равенство: ,получаем log 1/2
потенцируя равенство: , log2 8 = 3, будем иметь 23 = 8
Сравните.
Основные свойства логарифмов
Эти свойства вытекают из определения логарифма и свойств показательной функции.
При любом a 0 (a 1) и любых положительных x и y выполнены равенства:
для любого действительного p.
Решить примеры устно. Найти x
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Упростить выражения:
a)
б)
в)
Ответ. a) ; б) ; в)
5. Закрепление изученного материала
Найти логарифм по основанию a числа представленного в виде степени с основанием a
Упростите выражения, пользуясь основным логарифмическим тождеством.
Выполнить упражнения. Работа по индивидуальным карточкам.
6. Подведение итогов, домашнее задание