Лекция "Основные свойства определенных интегралов. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла. Геометрический и физический смысл определенного интеграла"

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] называется предел интегральной суммы (суммы Римана) при стремлении максимальной длины частичного интервала к нулю. 

Свойства определенных интегралов:

1. Определенный интеграл от единицы равен длине интервала интегрирования:
   dx=b−a

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
   f(x)dx=k (x)dx

3. Определенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций:
   f(x)+g(x)]dx= (x)dx+ g(x)dx

4. Определенный интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций:
   [f(x)−g(x)]dx= f(x)dx− g(x)dx

5. Если верхний предел равен нижнему, то определенный интеграл равен нулю:
   f(x)dx=0

6. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл изменяет знак на противоположный:
   f(x)dx=− f(x)dx

7. Пусть точка c принадлежит отрезку [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на отрезке [a,b] равен сумме интегралов на частичных промежутках [a,c] и [c,b]: 
   f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx

8. Определенный интеграл от неотрицательной функции всегда больше или равен нулю:
   f(x)dx≥0, если f(x)≥0 на [a,b].

9. Определенный интеграл от неположительной функции всегда меньше или равен нулю:
   f(x)dx≤0, если f(x)≤0 на [a,b].

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница:

   .

Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления.

Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница нам потребуется понятие интеграла с переменным верхним пределом.

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то для аргумента   интеграл вида   является функцией верхнего предела. Обозначим эту функцию   , причем эта функция непрерывная и справедливо равенство   .

Действительно, запишем приращение функции   , соответствующее приращению аргумента   и воспользуемся пятым свойством определенного интеграла и следствием из десятого свойства:
 
где   .

Перепишем это равенство в виде   . Если вспомнить определение производной функции и перейти к пределу при   , то получим   . То есть,   - это одна из первообразных функции y = f(x) на отрезке [a; b]. Таким образом, множество всех первообразных F(x) можно записать как   , где С – произвольная постоянная.

Вычислим F(a), используя первое свойство определенного интеграла:   , следовательно,   . Воспользуемся этим результатом при вычислении F(b):   , то есть   . Это равенство дает доказываемую формулу Ньютона-Лейбница   .

Приращение функции принято обозначать как   . Пользуясь этим обозначением, формула Ньютона-Лейбница примет вид   .

Для применения формулы Ньютона-Лейбница нам достаточно знать одну из первообразных y=F(x) подынтегральной функции y=f(x) на отрезке [a; b] и вычислить приращение этой первообразной на этом отрезке. В статье методы интегрирования разобраны основные способы нахождения первообразной. Приведем несколько примеров вычисления определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница для разъяснения.

Пример. Вычислить значение определенного интеграла   по формуле Ньютона-Лейбница.

Решение.

Для начала отметим, что подынтегральная функция   непрерывна на отрезке [1;3], следовательно, интегрируема на нем. (Об интегрируемых функциях мы говорили в разделе функции, для которых существует определенный интеграл).

Из таблицы неопределенных интегралов видно, что для функции   множество первообразных для всех действительных значений аргумента (следовательно, и для   ) записывается как   . Возьмем первообразную при C = 0:   .

Теперь осталось воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла:   .

Геометрический и физический смысл определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции

Пусть на отрезке [а; b] задана непрерывная функция у = ƒ(х) ≥ 0. Фигура, ограниченная сверху графиком функции у = ƒ(х), снизу — осью Ох, сбоку — прямыми х = а и х = b, называется криволинейной трапецией. Найдем площадь этой трапеции.

Д ля этого отрезок [а; b] точками а=х₀, х₁, ..., b=х_n (х_01n) paзобьем на n частичных отрезков [х_о;х₁], [х₁;х₂],...,[х_n-1;х_n]. (см. рис. 168). В каждом частичном отрезке [x_i-1;x_i] (i=1,2,..., n) возьмем произвольную точку ci и вычислим значение функции в ней, т. е. ƒ(c_i).

Умножим значением функции ƒ(c_i) на  длину ∆x_i=x_i-x_i-1соответствующего частичного отрезка. Произведение ƒ(c_i) • ∆x_i равно площади прямоугольника с основанием ∆x_i и высотой ƒ(c_i). Сумма всех таких произведений

равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади S криволинейной трапеции:

С уменьшением всех величин Δх_i точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры S_n, когда n неограниченно возрастает так, что λ = max∆x_i →0:

Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Работа переменной силы

Пусть материальная точка М перемещается под действием силы F, направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину F = F(x), где х — абсцисса движущейся точки М.

Найдем работу А силы F по перемещению точки М вдоль оси Ох из точки х = а в точку х = b (а ₀, х₁, ..., b = х_n (х_0 1 n) разобьем на n частичных отрезков [х₀; x₁], [x₁; x₂],..., [x_n-1; x_n]. Сила, действующая на отрезке [x_i-1; x_i], меняется от точки к точке. Но если длина отрезка Δхi = х_i-x_i-1 достаточно мала, то сила F на этом отрезке изменяется незначительно. Ее можно приближенно считать постоянной и равной значению функции F = F(x) в произвольно выбранной точке х = c_i Î [x_i-1; x_i]. Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке [x_i-1;x_i], равна произведению F(c_i)•Δх_i (Как работа постоянной силы F(c_i) на участке [x_i-1; x_i].)

Приближенное значение работы А силы F на всем отрезке [а; b] есть

Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина Δх_i Поэтому за точное значение работы А принимается предел суммы (36.1) при условии, что наибольшая длина λ частичных отрезков стремится к нулю: Итак, работа переменной силы F , величина которой есть непрерывная функция F = F(x), действующей на отрезке [а; b], равна определенному интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезку [а; b].

В этом состоит физический смысл определенного интеграла.

Аналогично можно показать, что путь S, пройденный точкой за промежуток времени от

t=а до t=b, равен определенному интегралу от скорости v(t):

м асса m неоднородного стержня на отрезке [a,b] равна определенному интегралу от

плотности g(х):

Контрольные вопросы:

1. Что называется определенным интегралом от функции?

2. Какими свойствами обладают определенные интегралы?

3. Как выглядит формула Ньютона-Лейбница?

4. В чем геометрический смысл определенного интеграла?

5. В чем состоит физический смысл определенного интеграла?