Контрольная работа №6

Контрольная работа № 6

Вариант 1

1. Вычислите 1, 5 и 100-й члены последовательности, если ее п-й член задается формулой

2. Представьте бесконечную периодическую десятичную дробь 1,(18) в виде обыкновенной дроби.

3. Найдите производную функции.

а) б)

в) г)

4. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой

5. Докажите, что функция удовлетворяет соотношению

6. Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой каждый член в 6 раз больше суммы всех её последующих членов.

Вариант 2

1. Вычислите 1, 7 и 200-й члены последовательности, если ее п-й член задается формулой

2. Представьте бесконечную периодическую десятичную дробь 2,(27) в виде обыкновенной дроби.

3. Найдите производную функции.

а) б)

в) г)

4. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой

5. Докажите, что функция удовлетворяет соотношению

6. Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма квадратов её членов равна 48. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Вариант 3

1. Вычислите 1, 5 и 8-й члены последовательности, если ее п-й член задается формулой

2. Представьте бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(13) в виде обыкновенной дроби.

3. Найдите производную функции.

а) б)

в) г)

4. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой

5. Докажите, что функция удовлетворяет соотношению

6. Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой второй член в 8 раз больше суммы всех её последующих членов.

Вариант 4

1. Вычислите 1, 3 и 6-й члены последовательности, если ее п-й член задается формулой

2. Представьте бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(23) в виде обыкновенной дроби.

3. Найдите производную функции.

а) б)

в) г)

4. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой

5. Докажите, что функция удовлетворяет соотношению

6. Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна 2, а сумма кубов её членов равна 24. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Решение вариантов контрольной работы

Вариант 1

1.

Ответ:

2. 1,(18) = 0,18 18 18 18… =

Найдем сумму бесконечной геометрической прогрессии, у которой

Значит, 1(18) =

Ответ:

3. а)

б)

в)

г)

4. ,

Ответ: 21.

5.

Найдем у' и подставим во второе равенство:

Имеем:

Доказано.

6. Пусть а_п – произвольный член геометрической прогрессии, q – знаменатель этой прогрессии.

Тогда а_{п + 1,} а_{п + 2,} а_{п + 3},… – последующие члены этой прогрессии. Найдем их сумму:

По условию а_п в 6 раз больше этой суммы. Получим уравнение:

.

Значит, знаменатель

Ответ:

Вариант 2

1.

Ответ: 5, 23, –602.

2. 0,27 = 0,27 27 27 27… =

Найдем сумму бесконечной геометрической прогрессии, у которой

Значит, 2(27) =

Ответ:

3. а)

б)

в)

г)

4. ,

Ответ: 5.

5.

Найдем у' и подставим во второе равенство:

Имеем:

0 = 0. Доказано.

6. Пусть дана геометрическая прогрессия и пусть q – знаменатель этой прогрессии. Найдем её сумму, которая по условию равна 4:

Тогда получим, что b₁ = 4(1 – q).

Последовательность, состоящая из квадратов членов данной геометрической прогрессии, в свою очередь также является геометрической прогрессией, у которой первый член равен b₁², а знаменатель равен q². Найдём сумму этой прогрессии:

Тогда получим, что

Составим и решим уравнение:

Найдем

Ответ:

Вариант 3

1.

Ответ:

2. 0,(13) = 0, 13 13 13 13… =

Найдем сумму бесконечной геометрической прогрессии, у которой

Значит,

Ответ:

3. а)

б)

в)

г)

4. ,

Ответ:

5.

Найдем у' и подставим во второе равенство:

Имеем:

1 = 1 . Доказано.

6. Пусть дана геометрическая прогрессия и пусть q – знаменатель этой прогрессии. Найдем сумму всех её членов, начиная с третьего:

По условию b₂ в 8 раз больше этой суммы. Получим уравнение:

Ответ:

Вариант 4

1.

Ответ:

2. 0,(23) = 0,23 23 23 23… =

Найдем сумму бесконечной геометрической прогрессии, у которой

Значит,

Ответ:

3. а)

б)

в)

г)

4.

Ответ:

5.

Найдем у' и подставим во второе равенство:

Имеем:

9 = 9 . Доказано.

6. Пусть дана геометрическая прогрессия и пусть q – знаменатель этой прогрессии. Найдем её сумму, которая по условию равна 2:

Тогда получим, что

Последовательность, состоящая из кубов членов данной геометрической прогрессии, в свою очередь также является геометрической прогрессией, у которой первый член равен b₁³, а знаменатель равен q³. Найдем сумму этой прогрессии:

Тогда получим, что

Составим и решим уравнение:

(не подходит по смыслу задачи).

Найдем

Ответ: