Контрольная работа № 1 по теме "Координаты и векторы в пространстве" (11 класс, Мерзляк А.Г. и др.)

Контрольная работа № 1 по теме «Координаты и векторы в пространстве»

Вариант 1

1. Точка A — середина отрезка MK. Найдите координаты точки A и длину отрезка MK, если M (5; −2; 1), K (3; 4; −3).

2. Точки A и B симметричны относительно точки C. Найдите координаты точки B, если A (−3; 5; −7), C (6; 2; −1).

3. Даны векторы (3; −2; −1) и (1; 2; 4). Найдите:

1) координаты вектора ;

2) косинус угла между векторами и .

4. Даны векторы (2; −6; 8) и (−1; k; −4). При каком значении k векторы и :

1) коллинеарны;

2) перпендикулярны?

5. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной прямой AB, если A (1; 2; −3), B (4; 8; −6).

6. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно 1 см. На диагонали C₁D его грани отметили точку M так, что DM : MC₁ = 5 : 3.

1) Выразите вектор через векторы , и .

2) Найдите модуль вектора .

Вариант 2

1. Точка M — середина отрезка AB. Найдите координаты точки M и длину отрезка AB, если A (6; −5; 2), B (−4; 3; 10).

2. Точки M и K симметричны относительно точки D. Найдите координаты точки K, если M (4; −6; 3), D (−2; 1; 5).

3. Даны векторы (2; −1; 3) и (−1; 2; 5). Найдите:

1) координаты вектора ;

2) косинус угла между векторами и .

4. Даны векторы (5; −4; 6) и (15; −12; p). При каком значении p векторы и :

1) коллинеарны;

2) перпендикулярны?

5. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку B и перпендикулярной прямой BC, если B (3; −2; 4), C (−2; 8; 19).

6. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно 1 см. На диагонали AD₁ его грани отметили точку E так, что AE : ED₁ = 2 : 7.

1) Выразите вектор через векторы , и .

2) Найдите модуль вектора .

Вариант 3

1. Точка K — середина отрезка CD. Найдите координаты точки K и длину отрезка CD, если C (−3; 4; −1), D (1; −2; 3).

2. Точки E и F симметричны относительно точки P. Найдите координаты точки F, если E (0; −8; 4), P (−4; 2; 2).

3. Даны векторы (2; 0; −3) и (1; −2; −1). Найдите:

1) координаты вектора ;

2) косинус угла между векторами и .

4. Даны векторы (−20; 10; −15) и (a; −2; 3). При каком значении a векторы и :

1) коллинеарны;

2) перпендикулярны?

5. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку C и перпендикулярной прямой CD, если C (4; 1; −1), D (7; −2; 5).

6. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно 1 см. На диагонали A₁B его грани отметили точку K так, что A₁K : KB = 4 : 3.

1) Выразите вектор через векторы , и .

2) Найдите модуль вектора .

Вариант 4

1. Точка D — середина отрезка FK. Найдите координаты точки D и длину отрезка FK, если F (6; −3; 2), K (4; 1; 4).

2. Точки B и C симметричны относительно точки M. Найдите координаты точки B, если C (9; −5; 6), M (3; 0; −2).

3. Даны векторы (4; −1; 2) и (−2; 1; 0). Найдите:

1) координаты вектора ;

2) косинус угла между векторами и .

4. Даны векторы (1; −2; 3) и (7; m; 21). При каком значении m векторы и :

1) коллинеарны;

2) перпендикулярны?

5. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку D и перпендикулярной прямой DM, если D (−3; 20; −4), M (9; 24; 16).

6. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно 1 см. На диагонали AC его грани отметили точку F так, что AF : FC = 3 : 7.

1) Выразите вектор через векторы , и .

2) Найдите модуль вектора .