Конспект урока Свойство серединного перпендикуляра к отрезку

Конспект урока "Свойство серединного перпендикуляра к отрезку"

На этом уроке мы узнаем, какими свойствами обладают точки, лежащие на серединном перпендикуляре к отрезку. А также познакомимся со второй замечательной точкой треугольника.

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. И знаем, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эту точку называют замечательной точкой треугольника.

Перейдем к рассмотрению отрезка, его серединного перпендикуляра и свойства точки, которая лежит на серединном перпендикуляре.

Итак, пусть дан отрезок AB. Прямая l – есть серединный перпендикуляр к отрезку AB.

Определение. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

Это означает, что наша прямая l проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна ему.

Теорема. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Доказательство.

Докажем, что  .

, т.к.   середина отрезка   по условию.

Рассмотрим   и  .

,т.к.   – общий катет, катеты   равны по условию.

 равны по двум катетам.

.

Если точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, то она равноудалена от концов отрезка.

Теорема доказана.

Обратная теорема. Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Доказательство.

Докажем, что точка   лежит на прямой  .

Рассмотрим  .

 – равнобедренный,

т.к.    по условию.

Отрезок   – медиана  .

 – высота 

.

Значит, прямые   и   совпадают.

Точка   лежит на прямой  .

Теорема доказана.

Прямую и обратную теоремы можно обобщить. Тогда справедлива теорема: Серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудаленных от его концов.

Задача. Серединный перпендикуляр к стороне   равнобедренного     пересекает сторону   в точке  . Найдите  , если   см и периметр   см.

Решение.

 – по условию.

 (см).

Рассмотрим  .

 – серединный перпендикуляр по условию.

Значит,  .

   (см).

Ответ:   (см).

Как вы уже знаете, треугольник состоит из трех отрезков, значит, в нем можно провести три серединных перпендикуляра. Оказывается, эти перпендикуляры пересекаются в одной точке. Эту точку называют второй замечательной точкой треугольника.

Следствие. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство.

 и 

Следовательно, все три серединных перпендикуляра  ,   и   к сторонам   пересекаются в точке  .

Таким образом, точка   – точка пересечения трех серединных перпендикуляров  .

Что и требовалось доказать.

Повторим главное:

На этом уроке мы узнали, какими свойствами обладают точки, лежащие на серединном перпендикуляре к отрезку. А именно, каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. А также узнали, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. И это есть вторая замечательная точка треугольника.

Примеры задач:

Задача 1. Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС пересекает сторону АС в точке D. Найдите: а) АD и СD, если ВD=5 см, АС=8,5 см; б) АС, если ВD-11,4 см, АD-3,2 см.

Д ано: ΔАВС

DК⊥ВС; СК=КВ

а) ВD = 5см; АС = 8,5cм

6) ВD = 11,4см; АD = 3,2см

Найти: а) АD-?; СD-?;

б) АС-?

Решение:

а) DК - серединный перпендикуляр к ВС = ВD = DС = 5см (по свойству), тогда АD = АС-DС

АD = 8,5см - 5см = 3,5см

6) DК - серединный перпендикуляр к ВС = ВD = DС = 11,4cм (по свойству), тогда АС = АD - DС

АС = 3,2см + 11.4cм = 14,6cм

Ответ: а) 3,5см; 5см 6) 14,6см

Задача 2. Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника АВС пересекаются в точке D стороны ВС. Докажите, что: а) точка D — середина стороны BC; 6) ∠A=∠B+∠C.

Д ано: ΔАВС

FD⊥АС; ED⊥АВ

СF=FА; АЕ = ЕВ

ВО, СО - биссектрисы

Доказать: а) D - середина ВС;

6) ∠A=∠B+∠C.

Доказательство:

а) ED⊥АВ и АЕ = ЕВ = ВD = АD (по свойству серединного перпендикуляра)

FD⊥АС и СF=FА = СD = АD (по свойству серединного перпендикуляра)

Так как ВD = АD и СD = АD = ВD = СD, значит D - середина ВС

6) ∠А = ∠САD + ∠DАВ

ΔАСD - равнобедренный, значит, ∠САD = ∠С

ΔАDВ - равнобедренный, значит, ∠DАВ = ∠В = ∠А = ∠В+ ∠С

Вывод: что и требовалось доказать.