Конспект урока алгебры 9 класс по теме: " Определение арифметической прогрессии. Формула n-ого члена арифметической прогрессии "

№

Этап урока

Название используемых

ЭОР

Деятельность учителя

(с указанием действий с ЭОР, например, демонстрация)

Деятельность ученика

Время

в мин.

1

2

3

4

5

6

1

Организационный момент.

Приветствие кадет. Определение готовности учащихся к уроку.

Приветствуют учителя.

2

2.

Актуализация знаний.

Математический диктант.

Работа выполняется по вариантам (в квадратных скобках задание, относящееся ко второму варианту).

1) У арифметической прогрессии первый член 4 [6], второй член 6 [2]. Найдите разность d.

2) У арифметической прогрессии первый член 6 [4], второй член 2 [6]. Найдите третий член.

3) Найдите десятый [восьмой] член арифметической прогрессии, если ее первый член равен 1, а разность 4 [5].

4) Является ли последовательность четных [нечетных] чисел арифметической прогрессией?

5) а_п – арифметическая прогрессия. Выразите через а₁ и d:

а₁₀; а_2k; a_{k + 3} [a₂₀; a_k; a_{2k + 1}].

О т в е т ы: 1) 2 [–4]; 2) –2 [8]; 3) 37 [36]; 4) Да [Да];

5) а₁₀ = а₁ + 9d [а₂₀ = а₁ + 19d];

а_2k = а₁ + d (2k – 1) [а_k = а₁ + d (k – 1)];

a_{k + 3} = а₁ + d (k + 2) [a_{2k + 1} = а₁ + 2dk].

Беседа по вопросам.

10

3.

Изучение нового материала.

У с т н о е з а д а н и е:

Дана арифметическая прогрессия (х_п): 2; 5; 8; 11; 14.

Вычислить: = (5.)

= (8.)

= (11.)

Замечаем интересное свойство и формируем его – «Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов».

Так как мы это предположили исходя из рассмотрения конкретной последовательности, данное утверждение следует доказать:

Пусть (х_п) – арифметическая прогрессия, тогда

х_п – х_{п – 1} = х_{п + 1} – х_п, то есть

2х_п = х_{п – 1} + х_{п + 1},

Следует обратить особое внимание учащихся, что это утверждение – свойство арифметической прогрессии. А если мы сформулируем обратное утверждение и сможем его доказать, то как будет оно называться? Это будет признак арифметической прогрессии: «Если в последовательности (х_п) каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией».

Пусть х_п = , где п ≥ 2, тогда 2х_п = х_{п – 1} + х_{п + 1,}

х_п – х_{п – 1} = х_{п + 1} – х_п, то есть разность между последующим и предыдущим членами последовательности (х_п) остается постоянной. Значит, (х_п) – арифметическая прогрессия .

10

4.

Закрепление

Задачи, решаемые на этом уроке, более разнообразны по сравнению с предыдущим уроком. Теперь мы можем использовать определение арифметической прогрессии, ее свойство и признак, формулу п-го члена.

Кроме того, появляются задачи, в тексте которых не задана арифметическая прогрессия в явном виде. Нужно «перевести» условие на математический язык, «увидеть» арифметическую прогрессию, решить задачу и формулировку ответа опять «перевести» на язык условия.

Упражнения:

1. № 580, № 585. Самостоятельное решение заданий на «прямое» применение формулы п-го члена и нахождения разности.

№ 582. Решение у доски с объяснениями. Необходимо самостоятельно задать арифметическую прогрессию (х_п), где

х₁ = 50 (м/мин) – скорость поезда в конце первой минуты;

d = 50 (м/мин) – увеличение скорости;

х₂₀ –?

х₂₀ = х₁ + d (20 – 1);

х₂₀ = 50 + 50 · 19 = 50 · 20 = 1000 (м/мин).

Обращаем внимание, что скорость принято выражать в км/ч, значит, ответ · 60 = 60 (км/ч).

№ 587.

2. № 589, № 593. Эти упражнения на неоднократное применение формулы п-го члена арифметической прогрессии, сводящиеся к решению системы уравнений либо неравенства.

Особое внимание следует уделить анализу условия. Решение полученной системы уравнений и неравенства ученики могут осуществить самостоятельно.

3. Упражнение на применение свойства арифметической прогрессии носит развивающий характер.

Первый член арифметической прогрессии равен 7. Найдите второй и третий ее члены, если известно, что они являются квадратами двух последовательных натуральных чисел.

Р е ш е н и е

Пусть (а_п) – арифметическая прогрессия, где

а₁ = 7; а₂ = п²; а₃ = (п + 1)², п N.

По свойству арифметической прогрессии:

а₂ = ; а₁ + а₃ = 2а₂; 7 + (п + 1)² = 2п²;

п² – 2п – 8 = 0;

п = 4 или п = –2. Так как п N, то –2 – не удовлетворяет условию.

а₂ = 4² = 16; а₃ = 5² = 25.

15

6.

Итог урока.

– Сформулируйте свойство арифметической прогрессии.

– Сформулируйте признак арифметической прогрессии.

2

7.

Задание для самоподговки

№ 581, № 588, № 591; 594

1