Комбинаторика матан презентация

Комбинаторные задачи на внеурочных занятиях по математике в начальной школе

План:

• Понятие комбинаторной задачи.

• Значение решения комбинаторных задач младшими школьниками.

• Методы решения комбинаторных задач.

• Методика обучения решению комбинаторных задач в начальных классах.

Понятие комбинаторной задачи

• Задачи, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называются комбинаторными.

• В комбинаторных задачах осуществляется перебор всех возможных комбинаций или подсчитывается их количество.

Комбинаторика

• Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи.

• Комбинаторика тесно связана с разделами математики - теорией множеств и теорией вероятности.

• Г. Лейбниц (1666 г.) в работе «Об искусстве комбинаторики» ввел термин «комбинаторика».

Наиболее часто встречающиеся виды комбинаций:

• перестановки,
• размещения,
• сочетания.

Наиболее часто встречающиеся виды комбинаций:

Вид комбинации

Пример задачи

Размещение с повторениями

Решение задачи

Записать всевозможные двузначные числа с помощью цифр 7, 4 и 5.

Размещение без повторения

Записать всевозможные двузначные числа с помощью цифр 7, 4 и 5, чтобы цифры в записи числа не повторялись.

Перестановки без повторения

Записать всевозможные трёхзначные числа с помощью цифр 7, 4 и 5.

Сочетание без повторения

Из элементов множества Х = {7, 4, 5} составить различные двухэлементные подмножества.

77, 74, 75, 47, 44, 45, 57, 54, 55.

74, 75, 47, 45, 57, 54.

Опр. Сочетаниями из m элементов по n элементов ( n ≤ m ) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из данных m разных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом .

Замечание. В сочетаниях не важен порядок следования объектов, т. е. АБ и БА – это одна и та же комбинация!

745, 754, 475, 457, 547, 574.

{7, 4}, {7, 5}, {4, 5}.

Подсчёт числа комбинаций в комбинаторных задач.

• Правило суммы

• Правило произведения

Если объект а можно выбрать m способами, а объект b –

k способами, то выбор «либо а , либо b » можно осуществить m+k способами.

Если объект а можно выбрать m способами, а объект b –

Задача. На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод?

k способами, то пару (a, b) можно выбрать m∙k способами.

Задача. На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать пару плодов, состоящую из яблока и апельсина?

Решение:

Решение:

5+4=9 способами.

5∙4=20 способами .

Подсчёт числа комбинаций (решений) в комбинаторных задачах

В комбинаторике

В начальной школе

По правилу суммы

Рассматривается неявно

По правилу произведения

Рассматривается неявно

По формулам для каждого вида комбинаций:

• перестановок,
• размещений,
• сочетаний.

Не изучаются

Методы решения комбинаторных задач в начальной школе

Основной метод – это метод перебора (хаотичного и системного).

Метод перебора опирается на имеющийся у детей жизненный опыт, на предметно-действенное и наглядно-образное мышление.

Для облегчения системного перебора используются таблицы и графы:

• «граф-дерево» («дерево решений», «дерево возможных вариантов»)
• линейный граф.

Методические приёмы обучения решению комбинаторных задач в начальной школе

• раскрашивание,
• манипуляции с реальными предметами и их моделями (заместителями),
• драматизация (обыгрывание описанных в заданиях ситуаций),
• использование символических записей,
• использование схематического рисунка.

Методы обучения решению комбинаторных задач в начальной школе

• Объяснительно-иллюстративные

• Проблемно-диалоговые:

• побуждающий диалог
• подводящий диалог

от проблемной ситуации

Три этапа обучения решению комбинаторных задач в начальной школе

• Приобретение опыта хаотичного перебора возможных вариантов.

• Приобретение опыта систематического перебора возможных вариантов (решаются задачи с небольшим числом возможных вариантов).

• Решение задач с использованием таблиц и графов.

Примеры комбинаторных задач в начальной школе

Метод хаотичного перебора всех вариантов.

• Задача. Весной первоклассникам было поручено посадить 3 дерева: клён, ель и рябину на пришкольном участке. В каком порядке ребята могут посадить эти деревья?

Сокращённый перебор

• Задача . Из цифр 2, 3, 4, 5 составь двузначные числа, чтобы число десятков было больше числа единиц.

• Задача . У Пети четыре мягкие игрушки: волк, заяц, крот и енот. Он решил посадить их на одну полку так, чтобы первым был волк, а заяц не сидел рядом с ним.

Примером сокращенного перебора

• Задача . Из цифр 2, 3, 4, 5 составь двузначные числа, чтобы число десятков было больше числа единиц».

Исходя из условия задачи, понятно, что не нужно записывать все двузначные числа. Варианты чисел должны быть такими, чтобы первая цифра в их записи была «старшей».

• Задача . Сколько существует двузначных чисел, сумма числа десятков и единиц которых равна 16?

В задании нужно провести неполный перебор возможных вариантов. Достаточно только выбрать цифры для записи этих чисел (сумма которых дает число 16), а их всего три: 7, 8, 9.

• Задача . У Пети четыре мягкие игрушки: волк, заяц, крот и енот. Он решил посадить их на одну полку так, чтобы первым был волк, а заяц не сидел рядом с ним.

Задача. Сколько нужно открыток, чтобы Миша, Коля, Сережа и Петя поздравили друг друга с Новым годом?

М

К

С

П

Задача. Сколько нужно открыток, чтобы Миша, Коля, Сережа и Петя поздравили друг друга с Новым годом?

М

М

К

К

С

С

П

П

Задача. Сколько нужно открыток, чтобы Миша, Коля, Сережа и Петя поздравили друг друга с Новым годом?

Значение решения комбинаторных задач младшими школьниками

• Развитие мышления учащихся:

• совершенствуются приёмы умственных действий ;
• развивается вариативность (гибкость) мышления, т. е. направленность на поиск различных решений задачи.

• Расширение знаний учащихся о самой задаче:

• о количестве решений и характере результата (задача может иметь не одно, а несколько решений-ответов или вообще не иметь решений);
• процессе решения задачи (чтобы решить задачу не обязательно выполнять арифметические действия).

• Знакомство с новым методом решения задач, методом перебора.
• Подготовка к исследовательской и творческой деятельности .
• Подготовка к решению жизненных практических проблем, к принятию оптимального в данной ситуации решения.
• Закрепление программного материала.

Задача . Художник нарисовал картины и поместил их в такие рамки.

Развесь картины на стене в разном порядке.

Задача . У Миши 5 грузовых и 4 легковых машинки. Ему нужно взять одну машинку. Сколько у него возможных вариантов выбора взять:

а) легковую машинку;

б) грузовую машинку;

в) любую машинку?

Задача . На цветочной клумбе сидели шмель, жук, стрекоза, пчела и муха. Два насекомых улетели. Какие пары могли улететь?

Задача . Коля решил в воскресенье навестить бабушку, своего друга Петю и старшего брата Володю.

1) В каком порядке он может организовать визиты?

2) Пользуясь условными обозначениями, запиши все возможные варианты. Сколько вариантов получилось?

3) Проверь свой ответ, заполнив схему дерева возможных вариантов.

  4) Обведи красным цветом веточки, на которых показано, что Коля навестил:

а) сначала Петю, потом старшего брата, потом бабушку;

б) сначала старшего брата, потом бабушку, потом Петю.

Задача .

3

…

1

…

2

…

Расставь знаки арифметических действий, если указан порядок их выполнения. Сколько различных вариантов у тебя получилось?

Задача . Поставь скобки так, чтобы получились верные равенства. Обозначь порядок выполнения действий.

40 – 24 + 16 : 4 =10;

Задача . Флаг государства состоит из трёх горизонтальных полос красного, белого и синего цвета. Сколько флагов может получиться? Как подсчитать сколько таких флагов может получиться?

Решение по правилу умножения:

1-я полоса – 3 способа

2-я полоса – 2 способа

3-я полоса – 1 способ.

Всего способов: 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6

Ответ: 6 способов

Задача . В классе три человека хорошо поют, двое других играют на гитаре, а еще один умеет показывать фокусы. Сколькими способами можно составить концертную бригаду из певца, гитариста и фокусника?

Задача . На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром. Сколько различных вариантов завтрака может выбрать Вова?

Задача . В субботу в 4 «А» классе 5 уроков: физкультура, русский язык, чтение, ИЗО, математика. Сколько вариантов расписания на день можно составить? Сколько можно составить вариантов расписания на день, зная, что математика – последний урок?

Задача . Путешественник хочет выехать на своей машине из города А, посетить города В, С и D, после чего вернуться в город А. Какими путями можно это сделать? На рисунке схема путей, связывающих города. Какой из вариантов самый оптимальный?

Задача . Проказница Мартышка,

Осёл, Козёл, да косолапый Мишка

Затеяли сыграть в квартет.

Ударили в смычки, дерут, а толку нет.

……………… ..

Стой, братцы, стой! – кричит Мартышка –

Погодите. Как музыке идти?

Ведь Вы не так сидите!

Сколькими различными способами могут сесть музыканты в один ряд?

Задача «Хоккейная комбинация». На поле 5 игроков. Начал комбинацию игрок №1, продолжили игроки с другими номерами, а забил гол игрок №5. Каждый хоккеист ударил по шайбе только один раз. На рисунке с помощью стрелок изображён один из возможных вариантов передачи шайбы между игроками в данной комбинации. Изобразите в тетради все другие возможные варианты передачи шайбы.

• Задача . В танцевальном кружке занимаются пять мальчиков: Олег, Вова, Стас, Андрей и Иван и пять девочек: Жанна, Маша, Катя, Юля и Даша. Сколько различных танцевальных пар можно составить?

Олег

Жанна

Вова

Маша

Стас

Катя

Андрей

Юля

Иван

Даша