Классическое определение вероятности

Лекция №3.

Понятие вероятности.

Классическое определение вероятности.

Определение: Вероятностью события А называется число, равное отношению числа m – благоприятствующих исходов событию А, к числу n – всех возможных исходов, обозначают:

Пример 1.

Найти вероятность выпадения четного числа очков при бросании игральной кости.

Решение.

Множество всех элементарных исходов данного испытания состоит из шести
элементов n = 6. Благоприятствующими событию А = {выпало четное число очков} будут элементарные события – выпадение 2, 4 и 6 очков, т.е. m = 3.

Вероятность события

Свойства вероятности.

1. Для любого случайного события выполняется 0 ≤ P(А) ≤ 1.

2. Вероятность достоверного события равна единице P(Ω) = 1.

3. Вероятность невозможного события равна нулю .

4. Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
P(A+B) = P(A) + P(B). В случае n несовместных событий справедливо:

5. Вероятность противоположного события равна , т.к. сумма вероятностей противоположных событий А и равна единице: .

6. Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: P(A∙B) = P(A) ∙ P(B). В случае n независимых событий справедливо:

7. Если события совместные, то P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A∙B).

Пример 2.

Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания для первого стрелка – 0,7, для второго – 0,8.

Найти вероятности следующих событий:

а) оба стрелка попадут в цель;

б) оба стрелка промахнутся;

в) только один стрелок попадёт в цель;

г) хотя бы один попадёт.

Решение.

Рассмотрим следующие события:

A – «попал первый стрелок»,

B – «попал второй стрелок»,

– «первый не попал»,

– «второй не попал».

Тогда, по условию задачи вероятности этих событий равны:

Р(А) = 0,7; = 1 – 0,7 = 0,3;

Р(В) = 0,8; = 1 – 0,8 = 0,2.

Используя операции над событиями, найдем искомые вероятности:

а) оба стрелка попадут в цель

Р(А∙В) = Р(А)∙Р(В) = 0,7∙0,8 = 0,56.

б) оба стрелка промахнутся

= 0,3∙0,2 = 0,06.

в) только один стрелок попадёт в цель

) = 0,3∙0,8+0,7∙0,2 = 0,38.

г) хотя бы один попадёт:

Событие («оба стрелка промахнулись») будет противоположным для события «хотя бы один попал в цель». Следовательно, искомая вероятность находится так:

1 – Р = 1 – 0,2∙0,3 = 0,94.

Условная вероятность. Формула полной вероятности.

Формулы Байеса.

Определение: Условной вероятностью события В при условии, что событие А произошло называется вероятность . Обзначается: или Р(В/А).

Теорема умножения (для зависимых событий). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:

В случае произвольного числа событий теорема умножения имеет вид:

Пример 3.

Студент выучил 15 из 40 экзаменационных вопросов. Найти вероятность того, что в наудачу взятом билете он знает оба вопроса.

Решение.

Рассмотрим события А={первый вопрос в билете студент знает}, В={второй вопрос в билете студент знает}.

Очевидно, что вероятность Р(А) = 15/40.

Вероятность события В найдем из условия, что всех исходов осталось 39 и благоприятствующих 14, тогда Р_А(В) = 14/39.

Итак, искомая вероятность, что в наудачу взятом билете он знает оба вопроса, будет равна:

События Н₁, Н₂, Н₃, …, Н_n образуют полную группу событий, если выполняются следующие

условия:

1) – события попарно несовместны;

2) – их сумма равна достоверному событию.

Очевидно, что .

Пусть требуется найти вероятность события А, которое может произойти после того, как произойдет одно из событий Н₁, Н₂, Н₃, …, Н_n, образующих полную группу событий. Искомая вероятность находится по следующей формуле, которая называется формулой полной вероятности:

или:

Пример 4.

С первого станка-автомата поступают 30% деталей, со второго – 25%, с третьего – 45%. Бракованных деталей поступает с первого станка 2%, со второго – 1%, с третьего – 3%. Какова вероятность того, что выбранная наудачу деталь бракованная?

Решение.

Обозначим через А интересующее нас событие: А={выбранная наудачу деталь бракованная}. Поскольку выбранная деталь могла быть изготовлена на любом из трех станков-автоматов, введем события

H_i = {деталь изготовлена на i-ойм станке}, i=1,2,3.

Из условия задачи следует, что Р(Н₁) = 0,30; Р(Н₂) = 0,25; Р(Н₃) = 0,45.

События H₁, H₂, H₃ попарно несовместны, сумма их вероятностей равна единице, следовательно, они образуют полную группу событий и можно воспользоваться формулой полной вероятности:

Из условия задачи означает вероятность того, что наудачу выбранная деталь окажется бракованной и изготовленной на первом станке, она равна = 0,02.

Аналогично: = 0,01; = 0,03.

По формуле полной вероятности найдем требуемую вероятность события А:

= 0,3∙0,02 + 0,25∙0,01 + 0,45∙0,01 = 0,022.