ХХIII Республиканская научно - практическая конференция молодых исследователей «Шаг в будущее»

Школьная научно – практическая конференция

«Шаг в будущее»

Исследовательская работа

«Проценты в нашей жизни»

Выполнила: Ученица 6 «в» класса

МБОУ «Гимназия №11»

Гасанова Камила Гаджиевна

Руководитель: Гасанова Айшат Рамазановна

Учитель математики

Высшей категории МБОУ «Гимназия №11»

Эпиграф

В любом открытии есть 99 % труда и потения и только 1 % таланта и способностей.

Л.Магницкий

Введение

• Проценты это математическое понятие, которое, в отличие от многих подобных понятий, очень часто встречается в повседневной жизни. Так, мы часто читаем или слышим, что например, в выборах приняли участие 52,5% избирателей, банк начисляет 12% годовых, молоко содержит 3,2% жира, материал содержит 60% хлопка и 40% полиэстера и т.д.
• В настоящее время понимание процентов и умение производить процентные расчеты, необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, экономическую, социологическую и другие стороны нашей жизни. Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется.
• Для своей исследовательской работы я поставила цель:

-Научиться использовать знания о процентах при решении задач, развить умение использовать эти знания не только на уроках математики, но и в повседневной жизни.

• Задачи , которые я ставлю это:

- Определить понятие «процент»;

- Изучить историю происхождения процента;

- Рассмотреть простейшие задачи на проценты

История возникновения процентов

•       Слово «процент» происходит от латинского слова pro centum, что буквально переводится «за сотню», или «со ста». Обозначается знаком «%».
•     Проценты были известны ещё в Индии в V веке .

• И это очевидно, так как именно в Индии с давних пор счет велся в десятичной системе счисления. Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, то есть пользуясь пропорцией.

• А вот в древнем Риме основная история возникновения процентов официально начинается с тех времен, когда сенату пришлось устанавливать максимально допустимый процент взимаемый с должников, что бы заимодавцы «не переусердствовали», в «выбивании долгов».

• Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Римляне брали с должника лихву (т. е. деньги сверх того, что дали в долг). При этом говорили: «На каждые 100 сестерциев долга заплатить 16 сестерциев лихвы.
• В Средние века очень сильно распространена была торговля, в связи с чем много внимание было обращено на правильность и умение высчитывать проценты

• Тогда уже проценты, история которых началась гораздо раньше, начали свою эволюцию.  Торговцам приходилось считать не просто проценты, а проценты с процентов, сложные проценты и т.д.  Некоторые компании даже составляли свои таблицы и схемы по вычислению процентов. Эти таблицы, кстати считались коммерческой тайной и тщательно охранялись. Но уже в 1584 году таблицы с расчетом процентов перестали быть тайной.

• Дело в том, что Симон Стевин, инженер из Нидерландов, опубликовал таблицу процентов.

Возникновение знака %

• Существует две версии происхождения знака %. Одна из версий, больше похожая на вымысел, это ошибка наборщика, который, набирая в 1985 году в Париже книгу под названием «Руководство по коммерческой арифметике» по ошибке вместо слова «СТО» поставил знак %.

• По второй, более правдоподобной версии, знак % это упрощение буквы t в слове cto, которым ранее обозначали проценты.

• Мы уже не узнаем, какая из версий правильная, однако знаком % пользуются в современном мире, и очень активно.

• Изучив историю возникновения процентов, я задала вопросы:

-Что такое проценты в математике ?

-Как решать задачи на проценты ?

-И поняла, что это очень простые понятия.

• Единственно, что нужно запомнить железно – что такое один процент . Это понятие - и есть главный ключ к решению задач на проценты, да и к работе с процентами вообще.
• Один процент – это одна сотая часть какого-то числа . И всё. Нет больше никаких мудростей.
• Резонный вопрос – а сотая часть   какого числа ? А вот того числа, о котором идёт речь в задании. Если там говорится о цене, один процент – это одна сотая часть цены. Если о скорости, один процент – это одна сотая часть скорости. И так далее. Понятно, что само число, о котором идёт речь, составляет всегда 100%. А если нет самого числа, то и проценты смысла не имеют…
• Другое дело, что в сложных задачах само число так запрячут, что и не найдёшь. Но мы на сложное пока не замахиваемся. Разбираемся с процентами в математике .
• Я не зря акцентирую слова один процент, одна сотая . Запомнив, что такое один процент , мы легко найдём и два процента, и тридцать четыре, и семнадцать, и сто двадцать шесть! Сколько надо, столько и найдёте.
• А это, между прочим, основное умение для решения задач на проценты .

Основные способы решения задач на проценты

• 1). Нахождение части от целого

Правило: Чтобы найти часть (%) от целого, надо число умножить на часть (проценты, переведенные в десятичную дробь)

• Пример . 
• В классе 32 ученика. Во время контрольной работы отсутствовало 12,5% учащихся.  Сколько учеников отсутствовало? Решение:
• 1 способ.  Целое в этой задаче – общее количество учащихся (32). 1) 12,5%  : 100% = 0,125 2) 32 · 0,125 = 4 (уч.) - отсутствовало
•   2 способ.  Пусть х учеников отсутствовало, что составляет 12,5%. Если 32 ученика – общее количество учеников (100%), то 32 ученика – 100% х учеников – 12,5% х = 32·12,5:100 = 4 (уч.) – отсутствовало.
•   Ответ: в классе отсутствовало 4 ученика.

• 2). Нахождение целого по его части.
• Правило: Чтобы найти целое по его части (%-ам), надо число разделить на часть (проценты, переведенные в десятичную дробь).

  Пример.  

• Коля истратил в парке аттракционов 120 рублей, что составило 75% всех его карманных денег. Сколько было карманных денег у Коли до прихода в парк аттракционов? Решение:
• 1 способ  
• В этой задаче надо найти целое, если известна данная часть и значение этой части. 1)75%:100% = 0,75 2)120 : 0,75 = 160(руб.) – было у Коли 2 способ.  
• Пусть х рублей  было у Коли, что составляет целое, то есть 100%. Если он потратил 120 рублей, что составило 75%, то 120 рублей – 75 % х рублей  – 100 % х = 120·100 :75 = 160(руб.) Ответ: у Коли было 160 рублей.

• 3). Выражение в процентах отношения двух чисел.
• Типовой вопрос: Сколько процентов составляет одна величина от другой?

Пример 1 . Ширина дачного участка прямоугольной формы  20 м, а длина 32 м. Сколько % составляет ширина от длины? (Длина является основой для сравнения) Решение: В этой задаче длина участка 32 м составляет 100%, тогда ширина 20 м составляет х%. Составим и решим пропорцию:   20 м  – х %                       32 м  – 100 %                       х = 20 ·100 : 32 = 62,5%                                 Ответ: ширина составляет от длины 62,5%.

Пример 2.

• Ширина дачного участка прямоугольной формы 20 м, а длина 32 м. Сколько процентов  составляет длина от ширины? (Ширина является основой для сравнения) Решение: В этой задаче ширина участка 20 м составляет 100%, тогда длина 32 м составляет х%. Составим и решим пропорцию: 20 м  – 100 % 32 м  – х % х = 32·100 : 20 = 160%

  Ответ: длина составляет от ширины 160%.

• 4). Выражение в процентах изменения величины.

Типовой вопрос: На сколько процентов изменилась (увеличилась или уменьшилась) первоначальная величина?

• Правило: Чтобы найти изменение величины в % надо: 1) найти, на сколько изменилась величина (без %); 2) разделить полученную величину из пункта 1) на величину, являющуюся основой для сравнения; 3) перевести результат в % (выполнив умножение на 100%).

Пример 1.  

• Цена платья снизилась с 1250 рублей до 1000 рублей. На сколько процентов снизилась цена платья? Решение:
• 1 способ. Основа для сравнения здесь 1250 рублей (т.е. то, что было изначально) 1) 1250 –1000 = 250 (руб.) - на столько изменилась цена платья. 2)  250:1250 ·100% = 20% 2 способ. 1250 –1000 = 250 (руб.) -  на столько изменилась цена платья. В этой задаче первоначальная цена 1250 рублей - это 100%, тогда изменение цены 250 рублей составляет х%. Составим и решим пропорцию:  1250 руб. – 100%                                     250 руб. – х%                                     х = 250 ·100 : 1250 = 20%
• Ответ: цена платья уменьшилась на 20%.

Задачи на проценты

• Задача 1.

Первое число составляет 80% от второго. А сколько процентов второе число составляет от первого?

Решение. Обозначим второе число через х. Тогда первое число равно 0,8х. Найдем, сколько второе число составляет от первого. Для этого разделим второе число на первое, и результат умножим на 100%.

Ответ: второе число составляет 125% от первого.

• Задача 2.

Свежие грибы содержат 90% влаги, сушеные – 12%. Сколько сушеных грибов получится из 13,2 кг свежих?

Решение. Пусть из 13,2 кг свежих грибов получится х кг сушеных грибов. Тогда сухого вещества в х кг будет содержаться 100%-12%=88%. Получается 0,88х кг. В 13,2 кг свежих грибов сухого вещества содержится 100%-90%=10%. В килограммах получается 0,1∙13,2=1,32 кг. Имеем равенство: 0,88х=1,32, отсюда х=1,32 : 0,88; х=1,5 кг.

Ответ: из 13,2 кг свежих грибов получается 1,5 кг сушеных грибов.

• Задача 3.

В раствор соленой воды массой 600 г с концентрацией 15% добавили раствор соленой воды массой 240 г с концентрацией 50%. Сколько процентов соли в полученной смеси?

Решение. В 600 г соленой воды с концентрацией 15% содержится 15% от 600 г соли. Это 0,15∙600=90 г соли. В 240 г соленой воды с концентрацией 50% содержится 50% от 240 г соли. Это 0,5∙240=120 г соли. Масса полученной смеси равна 600+240=840 г. Соли в этой массе 90+120=210 г. Найдем процент соли в полученной смеси.

Ответ: в полученной смеси содержится 25% соли.

• Решив несколько задач, я получила представление о процентах в математике. И отметила для себя:
• 1. В задачах на проценты – переходим от процентов к конкретным величинам. Или, если надо – от конкретных величин к процентам. Внимательно читаем задачу !
• 2. Очень тщательно изучаем, от чего нужно считать проценты. Если об этом не сказано прямым текстом, то обязательно подразумевается. При последовательном изменении величины, проценты подразумеваются от последнего значения. Внимательно читаем задачу!
• 3. Закончив решать задачу, читаем её ещё раз. Вполне возможно, вы нашли промежуточный ответ, а не окончательный. Внимательно читаем задачу!

Займёмся исследованием

• В своей исследовательской работе я решила вывести процентное соотношение в своем 6 «в» классе в таких вопросах как:

1. Какое процентное соотношение мальчиков к девочкам.

2. Сколько процентов учеников нашего класса занимаются спортом, посещают художественную и музыкальную школы.

3. Сколько процентов учеников в классе блондинов, брюнетов и рыжих (как среди мальчиков так и среди девочек).

4. Сколько процентов предпочитают точные науки и гуманитарные.

1. В классе 26учащихся. Из них 14 девочек. Сколько процентов составляют мальчики? Сколько девочки?

Решение.

26 учащихся– 100%

14учащихся –х%

Решим уравнение: х=14*100:26

х=53,8% - девочки – сост.194°

100-53,8 =46,2% - мальчики – сост. 166 °

2. Теперь выясним сколько процентов детей нашего класса занимаются спортом, посещают художественную и музыкальную школы.

Решение.

26 учащихся– 100%

13 учащихся – х% (спортсмены) – половина (50%)

х = 13 * 100 :26

х = 50%

26 учащихся – 100%

9 учащихся – х% (музыканты)

х = 9 * 100 : 26

х = 35%

26 учащихся– 100%

4 учащихся – х% (художники)

х = 4 * 100 : 26

х = 15%

3. Наш класс очень разнообразный. В нем и блондины, и брюнеты и есть даже рыжики. Вот я и решила в процентном соотношении показать это.

Решение

26 учащихся – 100%

9 учащихся – х% (блондины)

х = 9 * 100 : 26

х = 35%

26 учащихся – 100%

15 учащихся – х% (брюнеты)

х = 15 * 100 : 26

х = 60%

26 учащихся – 100%

2 учащихся – х% (рыжие)

х = 2 * 100 : 26

х = 5%

4. Теперь давайте на диаграмме посмотрим сколько процентов ребят нашего класса предпочитают точные науки, а сколько гуманитарные.

26 уч. – 100%

7 уч. –х% (точные науки)

х = 7 * 100 : 26

х = 27% - сост.97°

100% - 27% = 73% -263 °(гуманитарные науки)

360° : 100% = 3,6° - на 1%

3,6° * 27% = 97° (точные науки)

3,6° * 73% = 263° (гуманитарные науки)

Выводы

• Проценты дают возможность легко сравнивать между собой части целого, упрощают расчёты и поэтому очень распространены.
• Мне в дальнейшей жизни проценты очень пригодятся:
• В 9 классе при сдаче ОГЭ.
• В повседневной жизни, т.к. знания процентов необходимы и для выборов в Государственную думу, подсчёта роста числа рождаемости и т. д. Граждане пользуются услугами банков для взятия кредитов, и им приходится рассчитывать проценты по кредитам. Современному человеку прожить без знаний процентов нельзя.

Знать процент – большая честь.

Без процентов не дано нам

Ни дышать, ни пить, ни есть.

И конечно, пожелаем

Вам, и нам, и всем подряд,

Чтоб в учёбе был достигнут

Стопроцентный результат!

Список литературы

1. Энциклопедия для детей.Т.11. Математика/ Главный ред. М.Д. Аксенова. – М.: Аванта+, 1998.

2. Виленкин Н.Я «Математика 5», «Математика 6».

3. Захарова А.Е. Несколько задач «про цены ». //журнал «Математика в школе».-2002-№8.

4. Седова Е.А. Проценты в X классе общеобразовательного направления. // журнал «Математика в школе».-1994-№4.