Графический способ решения систем двух уравнений с двумя неизвестными

Математика уступает

Свои крепости лишь

Сильным и смелым

А.П. Конфорович

‘ Графический метод решения системы уравнений с двумя переменными ’

Градова Юлия Геннадьевна, учитель математики МБОУ Школы № 12

Что называют системой уравнений? Рассмотрим два линейных уравнения: 1) y – 2 x = – 3 2) x + y = 3

Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно.

y – 2 x = – 3

x + y = 3

Каждая пара значений переменных, которая одновременно является решением всех уравнений системы, называется решением системы.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

Решить систему уравнений - значит найти все её решения или установить, что их нет.

Решение системы графическим способом

Выразим у

через х

у – х = 2,

у + х = 10;

y

y=x+2

10

у = х + 2,

у = 10 – х ;

Построим график первого уравнения

6

у = х + 2

y=10 - x

х

0

-2

у

2

0

2

1

Построим график второго уравнения

4

x

10

-2

0

1

у = 10 – х

х

0

10

у

10

Ответ: (4; 6)

0

Алгоритм решения системы уравнений графическим способом

1 . Приводим оба уравнения к виду линейной функции y = k x + m.

2. Составляем расчётные таблицы для каждой функции.

3. Строим графики функций в одной координатной плоскости.

4. Определяем число решений:

• Если прямые пересекаются, то одно решение пара чисел (х ; у) – координаты точки пересечения;
• Если прямые параллельны, то нет решений;
• Если прямые совпадают, то бесконечно много решений.

5. Записываем ответ.

Графический метод решения системы x + y = 3 y – 2 x = – 3

у = 3 – x

x

y

A(0;3)

D(3;3)

3

0

0

3

M(2;1)

у =1

B(3;0)

X=2

у = 2x – 3

y

x

0

– 3

C(0; – 3)

3

3

Ответ: (2; 1)

Решим систему уравнений : Y= 0 ,5 x+2 Y= 0,5x-1

Y=0,5x+2

x

y

B(2;3)

0

2

2

A(0;2)

3

D(2;0)

C(0;-1)

Y=0,5x-1

y

x

0

-1

Графики функций параллельны и не пересекаются.

0

2

Ответ: Система не имеет решений.

Система

Y=x+3

Y=x+3

Y=x+3

D( 1 ; 4 )

y

x

A(0;3)

3

0

C( -1 ; 2 )

- 3

0

B( - 3;0)

Y=x + 3

y

x

Графики функций совпадают.

4

1

-1

2

Ответ: система имеет бесконечное множество решений

Исследование системы линейных уравнений с двумя переменными на количество решений

Выполнить равносильные преобразования для каждого уравнения системы

Исследовать систему уравнений на количество решенией

Умножим первое

уравнение системы на 2:

Левые части уравнений

этой системы равны при

любых значениях x и y ,

а правые части не равны .

Следовательно, нет таких значений x и y , которые обращают оба уравнения системы в верные равенства.

Ответ: решений нет.

10

Решите систему уравнений графическим способом

1 вариант

2 вариант

у = 2 х - 3

у = 3 х - 4

у = - х + 3

у = 0,5 х + 1

У = 2х - 3

У = - х + 3

У = 0,5 х + 1

У = 3 х - 4

.

у

у

.

.

.

.

.

В(2;2)

А(2;1)

.

.

х

х

.

.

Ответ: В ( 2; 2)

Ответ: А ( 2; 1)

вывод: 1) угловые коэффициенты не равны ,

2) прямые пересекаются.

Решите систему уравнений :

у

1) 3 х +2 у = 7,

у = -1,5 х + 3,5 х у

1 2

3 -1

2) 2 х + 4 у = 2,

у = 0,5 – 0,5 х

х у

1 0

3 -1

4

3

2

1

1

3

х

1

2

Ответ: (3; -1).

Достоинство графического способа

НАГЛЯДНОСТЬ

Недостаток графического способа

ПРИБЛИЖЁННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ