"Формула суммы п-первых членов в геометрической прогрессии"

Этапы работы

Содержание этапа

I. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока

Цель учителя на данном этапе: настроить словесными методами, личным примером учащихся на плодотворную работу на уроке.

Учитель: Здравствуйте, ребята! Садитесь. Все ли готовы сегодня плодотворно потрудиться на уроке?

Учитель: Сегодня на уроке мы продолжим работать с геометрической прогрессией, научимся находить сумму суммы n – первых членов геометрической прогрессии

II. Актуализация знаний для изучения нового материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешённых задач)

Цель педагога: в ходе беседы выявить трудности при выполнении домашней работы, вместе с детьми разобрать нерешённые задания

Учитель: Есть ли у вас вопросы по домашнему заданию? Давайте сверим ответы и решим на доске те задания, которые у вас не получились.

2. Контроль усвоения материала (устный и письменный опрос)

Цель данного этапа: в ходе устного и письменного опроса воспроизвести в памяти учащихся те знания, которые им необходимы для изучения новой темы.

Цель учащихся: уметь выполнять действия со степенями, находить и выражать члены геометрической прогрессии

Учитель: Устно упростите выражения, записанные на доске: а)2³·2²· (2³)²·2^-5 ; б) х^п-1 · хⁿ

Ученик: 2⁵=32; х^2п-1

Учитель: Найдите 6-ой член геометрической прогрессии (b_n), если b₁=3 и q=2

Ученик: 96

Учитель: Последовательность (b_n)- геометрическая прогрессия. Найдите первый член геометрической прогрессии, если b₈=0,256 и q=2.

Ученик: 0,002

Учитель: Последовательность (b_n)- геометрическая прогрессия. Выразите b₁₂ , через b₇  и q.

Ученик: b₁₂ = b₇ q⁵ .

III. Формирование новых понятий.

Цель учителя: проблемной ситуацией вызвать у учащихся желание найти способ для быстрого решения задачи и тем самым подтолкнуть детей к выводу формулы для нахождений суммы членов геометрической прогрессии

Цель учащихся: вместе с учителем вывести формулы для нахождения

суммы n- первых членов геометрической прогрессии.

Учитель: Прочитайте задачу, которая дана на карточках:

Однажды незнакомец постучал в окно к богатому купцу и предложил такую сделку: « Я буду ежедневно в течение 30 дней приносить тебе по 100000рублей. А ты мне в первый день за 100000рублей дашь 1копейку,  во второй день за 100000рублей – 2 копейки , и так каждый день будешь увеличивать предыдущее число денег в два раза. Если тебе выгодна сделка, то с завтрашнего дня начнем».Купец обрадовался такой удаче. Он подсчитал , что за 30 дней он получит от незнакомца 3000000 рублей. На следующий день они пошли к нотариусу и узаконили сделку.

Проблемная ситуация.

Кто в этой сделке проиграл: купец или незнакомец?

Учитель: Так как каждый день число денег, которое получал купец, увеличивалось в 2 раза, то у нас получается последовательность: 1;2;4;8;16;32;…Запишите эту последовательность в тетрадь.

Учитель: Какую последовательность составляют эти числа?

Ученик: Получилась геометрическая прогрессия со знаменателем  q=2, первым членом b₁=1 и количеством членов n =30.

Учитель: Попытайтесь найти их сумму.

(Учащиеся пытаются найти их сумму, но видят , что это трудоемкая работа )

Учитель: Существует формула для нахождения суммы n- первых членов геометрической прогрессии. Сейчас мы с вами запишем вывод формулы суммы n- первых членов геометрической прогрессии.

Дана геометрическая прогрессия (b_n). Обозначим сумму  n- первых членов через S_n.:

S_n= b₁+b₂+b₃+…+b_n-1+b_n.        (1)

Умножим обе части этого равенства на q:

S_n q= b₁ q+b₂ q+b₃ q+…+b_n-1 q+b_n q.

Учитывая, что

b₁ q = b₂,    b₂ q=  b₃,    b₃ q= b₄, ..., b_n-1 q=b_n , получим:

S_nq= b₂+b₃+…+b_n+b_nq.     (2)

Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1) и приведем подобные члены, получим:

S_n(q–1)= b_nq– b.

Отсюда следует,  что при q≠ 1

     S_n= (b_nq– b₁)/ (q–1).       (I)                                     

 Мы получили формулу суммы n- первых членов геометрической прогрессии, в которой q ≠1.

При решении многих задач удобнее пользоваться другой формулой суммы n- первых членов геометрической прогрессии.

     S_n= b₁(qⁿ– 1)/ (q–1), если  q ≠1.  (II)

IV. Формирование умений и навыков  

Цель учителя: на практике научить детей использовать выведенные формулы как при коллективном разборе заданий, так и в ходе самостоятельной работы.

Цель учащихся: решить предложенную ранее проблемную задачу и научиться на практике применять формулы для нахождения суммы n- первых членов геометрической прогрессии.

Учитель: Решим задачу про незнакомца и купца. Используем  формулу   S_n= b₁(qⁿ– 1)/ (q–1). Подставив данные, получим S₃₀=1(2³º–1)/(2–1),            S₃₀=1073741823 копеек = 10737418, 23 руб.

10737418, 23 руб. 3000000 руб.

Учитель: Кто проиграл?

Ученик: Купец проиграл.

Учитель: Решаем № 648 (а), № 649(а, г),

 № 652 (а).

(Каждое задание один ученик выполняет на доске, а остальные в тетрадях)

№648(а)

Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, у которой в₁ =8, q=

Решение: S₅=8(–1)/(–1)=8·(-.

№649(а)

 Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии: 3;-6;...;

Решение: q=-2,   S₆=3((-2)⁶–1)/(-2–1)= -63.

№649(г)

Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии: 1;;... .

 q=     S₆=1(()⁶–1)/(–1)=       

VI. Подведение итогов урока Рефлексия.

Цель учителя: в ходе короткой беседы воспроизвести в памяти учащихся тот материал, который изучен на уроке, показать применение изученного материала в жизни

Учитель: Чему вы научились на этом уроке?

Учитель: Что нужно знать , чтобы найти сумму  n- первых членов геометрической прогрессии?

Учитель: А где в жизни применяется формула суммы членов геометрической прогрессии?

Ученик: Например, при решении таких ситуаций, как сегодняшняя проблемная задача

VII. Домашнее задание.

Задача данного этапа: разъяснить методику выполнения домашнего задания, мотивировать необходимость и обязательность выполнения данного этапа

Учитель: Дома вы должны выучить формулы суммы  n- первых членов геометрической прогрессии.

№ 650, 658—всем,

652(в) – дополнительно.