Урок59 Тема: Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии
Цели:
образовательные - познакомить учащихся с выводом формулы сумм n первых членов арифметической прогрессии; научить учащихся применять полученные формулы при решении задач.
развивающие - сформировать умение строить и интерпретировать математическую модель некоторой реальной ситуации.
воспитательные - прививать учащимся интерес к предмету посредствам применения информационных технологий (с использованием компьютера), решения исторических задач.
Ход урока
1.Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
3. Подготовка к ГИА. Работа по группам
1группа.
1.Решите уравнение
2.Найдите наибольшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств
3.Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?
4.. Арифметическая прогрессия задана условием an = −11,9 + 7,8n . Найдите a11.
Ответы: -1, -2, 3, 73.9
2 группа
1. Задание 21 № 47
Сократите дробь .
2. Задание 21 № 311236
Разложите на множители: .
3. Упростите выражение
4. Последовательность задана условиями , . Найдите .
5.Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 3; 6; 9; 12;… Какое из следующих чисел есть среди членов этой прогрессии?
1) 83 | 2) 95 | 3) 100 | 4) 102 |
Ответ: 96, , 4, 4
4. Актуализация знаний.
1. Устный фронтальный опрос:
Какое число называется разностью арифметической прогрессии?
Составьте арифметическую прогрессию, если ее первый член равен 4
Какие из перечисленных последовательностей являются арифметическими прогрессиями? (an): 0; 1; 8; 27; 64; …
(bn): 7; 5; 3; 1; -1; …
(xn): 2; 2,2; 2,6; 3,2; 4; …
(cn): 6; 12; 18; 24; 30; …
5. Мотивация
Решите задачу. Новый русский решил отгородить бассейн на даче фигурной стеной. Позвав строителей, начал объяснять. - В нижний ряд укладывается 19 блоков, на него кладётся 17 блоков, затем 15 и так далее. Всего 8 рядов. «Арифметическая прогрессия какая-то получается», - произнес бригадир. Прав бригадир?
Выпишите числа, соответствующие количеству блоков каждого ряда: 19, 17, 15, 13, 11, 9, 7, 5. Получили последовательность чисел. Опишите её.
6.Фискультминутка
7. Обьяснение нового материала
Рассмотрим еще одну задачу :
Рабочий выложил плитку следующим образом: в первом ряду - 3 плитки, во втором - 5 плиток и т.д., увеличивая каждый ряд на 2 плитки. Сколько потребуется рабочему плиток, чтобы выложить 6 рядов
Решение: Составьте к задаче последовательность из 6 чисел: 3, 5, 7, 9, 11,13
Нетрудно убедиться, что данная последовательность является арифметической прогрессией.
Чтобы узнать количество всех плиток, надо узнать сумму этих чисел, т.е найти сумму первых 6 членов арифметической прогрессии.
Подумайте как найти количество всех плиток
(Ответы учеников)
Да, можно решить эту задачу непосредственным сложением чисел. Но этот способ не рационален. А если бы перед вами стояла задача: найти S100, как вы думаете сколько времени вам потребовалось?
Рассказывают, что, когда, великий немецкий математик Карл Гаусс учился в начальной школе, преподаватель предложил ученикам самостоятельно найти сумму ряда от 1 до 100. Он предполагал, что ученики будут складывать эти числа по порядку, на что потребуется не менее 10 минут. Какого же было его удивление, когда маленький Карл через 1-2 минуты заявил, что он задание выполнил и дал правильный ответ.
Как же так быстро далось маленькому мальчику найти ответ?
Сам Гаусс объяснял это так:
"Я заметил, что 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 и т. д. Пара ровно отстоящих от краёв ряда чисел даёт 101 и последняя пара средних чисел даёт 101 = 50 + 51. Числа, взятые по паре с начала и с конца ряда встречаются в середине после 50 сложений этих пар. Поэтому надо 101 x 50 = 5050. Это число и будет суммой всех 100 чисел".
Воспользуйтесь идеей Гаусса для решения задачи про плитки.
Вывод формулы.
Пусть (ап) – арифметическая прогрессия.
Обозначим Sn сумму п первых членов арифметической прогрессии.
Sn = а1 + а2 + а3 + а4 + … + ап – 1 + ап (1)
Sn = ап + ап – 1 + ап – 2 + ап – 3 + … + а2 + а1 (2)
Докажем, что сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом, равна а1 + ап.
a2 + an – 1 = (a1 + d) + (an – d) = a1 + an;
a3 + an – 2 = (a2 + d) + (an – 1 – d) = a2 + an – 1 = a1 + an;
a4 + an – 3 = (a3 + d) + (an – 2 – d) = a3 + an – 2 = a1 + an и т. д.
Число таких пар равно п. Складываем почленно (1) и (2) и получаем
2Sn = (a1 + an) · n.
| – формула суммы п первых членов арифметической прогрессии. |
Обычно арифметическая прогрессия задается первым членом и разностью, поэтому удобно иметь еще формулу суммы п первых членов, выраженную через а1 и d арифметической прогрессии.
Sn = · n, ап = а1 + d (п – 1);
Sn = · n;
| – формула суммы п первых членов арифметической прогрессии. |
8. Первичное закрепление
№603(а) , №604(а),
9.Контроль знаний
1вариант | 2 вариант |
1)Дана арифметическая прогрессия: Найдите сумму первых десяти её членов. 2. Дана арифметическая прогрессия Найдите | 1)Дана арифметическая прогрессия Найдите сумму первых десяти её членов. 2. Дана арифметическая прогрессия (an), разность которой равна −8,5, a1 = −6,8. Найдите a11. |
Обменяйтесь тетрадями, сделайте проверку
Ответы:1. 50 1. 23
2. 54 2. -91.8
Дополнительно
Решение задач из сборника Лысенко( Готовимся к ГИА)
Последовательность ( аn) арифметическая прогрессия. Найдите первые пять ее членов если а1=5,а2=9, а3=13.
Последовательность ( аn) арифметическая прогрессия. Найдите сумму ее шести членов а2=17, а5=65
Найдите сумму всех нечетных натуральных двузначных чисел
Последовательность ( аn) арифметическая прогрессия. Найдите сумму первых пяти ее членов если а1=8, а3=18.
10. Итог урока.
11. Домашнее задание: П.26. № 603(б), 604(б),№606(б)
Решение задач из сборника Лысенко
12.Рефлексия:
Что нового узнали?
Что получилось?
Где возникают затруднения?
1группа.
1.Решите уравнение
2.Найдите наибольшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств
3.Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?
4.. Арифметическая прогрессия задана условием an = −11,9 + 7,8n . Найдите a11.
1группа.
1.Решите уравнение
2.Найдите наибольшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств
3.Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?
4.. Арифметическая прогрессия задана условием an = −11,9 + 7,8n . Найдите a11.
1группа.
1.Решите уравнение
2.Найдите наибольшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств
3.Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?
4.. Арифметическая прогрессия задана условием an = −11,9 + 7,8n . Найдите a11.
2 группа
1. Сократите дробь .
2. Разложите на множители: .
3. Упростите выражение
4. Последовательность задана условиями , . Найдите .
5.Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 3; 6; 9; 12;… Какое из следующих чисел есть среди членов этой прогрессии?
1) 83 | 2) 95 | 3) 100 | 4) 102 |
Решение задач из сборника Лысенко( Готовимся к ГИА)
Последовательность ( аn) арифметическая прогрессия. Найдите первые пять ее членов если а1=5,а2=9, а3=13.
Последовательность ( аn) арифметическая прогрессия. Найдите сумму ее шести членов а2=17, а5=65
Найдите сумму всех нечетных натуральных двузначных чисел
Последовательность ( аn) арифметическая прогрессия. Найдите сумму первых пяти ее членов если а1=8, а3=18.
Решение задач из сборника Лысенко( Готовимся к ГИА)
Последовательность ( аn) арифметическая прогрессия. Найдите первые пять ее членов если а1=5,а2=9, а3=13.
Последовательность ( аn) арифметическая прогрессия. Найдите сумму ее шести членов а2=17, а5=65
Найдите сумму всех нечетных натуральных двузначных чисел
Последовательность ( аn) арифметическая прогрессия. Найдите сумму первых пяти ее членов если а1=8, а3=18.
Решение задач из сборника Лысенко( Готовимся к ГИА)
Последовательность ( аn) арифметическая прогрессия. Найдите первые пять ее членов если а1=5,а2=9, а3=13.
Последовательность ( аn) арифметическая прогрессия. Найдите сумму ее шести членов а2=17, а5=65
Найдите сумму всех нечетных натуральных двузначных чисел
Последовательность ( аn) арифметическая прогрессия. Найдите сумму первых пяти ее членов если а1=8, а3=18.
Решение задач из сборника Лысенко( Готовимся к ГИА)
Последовательность ( аn) арифметическая прогрессия. Найдите первые пять ее членов если а1=5,а2=9, а3=13.
Последовательность ( аn) арифметическая прогрессия. Найдите сумму ее шести членов а2=17, а5=65
Найдите сумму всех нечетных натуральных двузначных чисел
Последовательность ( аn) арифметическая прогрессия. Найдите сумму первых пяти ее членов если а1=8, а3=18.