Элементы теории множеств

Элементы теории множеств

Этапы и цели урока

Цели урока

Этапы урока

• Предмет изучения дискретной математики

• Определить предмет изучения дискретной математики и ее взаимосвязь с другими науками
• Дать определение понятиям «множество» и «элементы множества». Рассмотреть способы задания, изображения множеств и виды множеств
• Рассмотреть операции над множествами и их свойства
• Научиться решать простейшие задачи теории множеств
• Выполнить самостоятельную работу.

• Элементы теории множеств. Общие понятия

• Основные операции над множествами

• Решение задач

• Практическая работа

Предмет изучения дискретной информатики

Дискретная математика

Математическая логика

Теория множеств

Теория автоматов

Теория графов

Теория кодирования

Дискретной математикой называют совокупность математических дисциплин, изучающих свойства абстрактных дискретных объектов, т.е. свойства математических моделей объектов, процессов и зависимостей, существующих в реальном мире и имеющих прерывный (дискретный) характер

Взаимосвязь дискретной математики с другими науками

Изучение дискретной математики способствует формированию фундаментальных теоретических знаний, необходимых для изучения таких предметов, как:

• «Теория вероятностей и математическая статистика»
• «Архитектура ЭВМ, систем и сетей»
• «Базы данных»
• «Компьютерное моделирование»
• «Основы алгоритмизации и программирования

Элементы теории множеств

Множество – совокупность объектов (элементов), объединенных некоторым признаком или свойством.

Например, множество книг в библиотеке, множество студентов в группе

Способы задания множеств:

Множество считается заданным, если перечислены все его элементы, или указано свойство, которым они обладают.

• Перечисление

Например, Х={2,4,6,8}, Y={a,b,c,d}

• Характеристическое свойство

Например, Х={x| -3 ≤ x ≤ 5 }

• Порождающая процедура

Например, M 2 n = {1,2,4,8,16,32,…}

Изображение множеств

Множества удобно изображать с помощью кругов Эйлера

Например,

Множества А и В совпадают

А, В

Множество А содержит в себе все элементы множества В

А

В

Множества А и В имеют некоторые общие элементы

В

А

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ 1

Изобразить с помощью кругов Эйлера следующие множества:

• А – «Л.Н. Толстой»
• В – «Автор романа «Война и мир»»

А, В

• А – «Лес»
• В – «Хвойный лес»

В

А

• А – «Студенты»
• В – «Шахматисты»

В

А

• Задать множества и составить схему Эйлера : «Птицы – не являющиеся водоплавающими

В

А

Изображение множеств

• Конечные и бесконечные множества

Множество, состоящее из конечного числа элементов называется конечным,

в противном случае – множество бесконечное.

• Пустое множество

Множество, не содержащее элементов, называется пустым (  ).

• Равные множества

Множества А и В называются равными, если они состоят из одинаковых

элементов (А=В)

• Подмножества

Множество В называется подмножеством множества А, если все его

элементы принадлежат множеству А (В  А)

• Универсальное множествоа

Множество, состоящее из всех возможных элементов, обладающих данным

признаком, называется универсальным (U)

=

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ 2

Указать множество, равное данному

Пример, А = {в, е, с, н, а}

B = {н, а, в, е, с}

A = {к, о, р, ш, у, н}

B = {ш, н, у, р, о, к}

A = {р, о, м, а, ш, к, а}

B = {м, о, ш, к, а, р, а}

A = {а, п, е, л, ь, с, и, н}

B = {с, п, а, н, и, е, л, ь}

A = {с, о, р, а, т, н, и, ц, а}

B = {с, т, а, ц, и, о, н, а, р}

=

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВА

Объединение множеств

Объединением множеств А и В называется множество

С = А  В , состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.

А  В = {x| x  A или x  B}

A

B

=

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВА

Пересечение множеств

Пересечением множеств А и В называется множество

С = А  В , состоящее из элементов, которые принадлежат одновременно множествам А и В.

А  В = {x| x  A и x  B}

A

B

=

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВА

Разность множеств

Разностью множеств А и В называется множество

С = А \ В , состоящее из элементов, принадлежащих множеству А и не принадлежащих множеству В.

А \ В = {x| x  A и x  B}

A

B

=

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВА

Симметрическая разность множеств

Симметрической разностью множеств А и В называется множество С = А  В , состоящее из элементов, которые принадлежат одному из множеств А или В, но не являются их общими элементами.

А  В = (А \ B)  (B \ A) =

(A  B) \ (B  A)

A

B

=

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВА

Дополнение множеств

Дополнением множеств А и В называется множество А , состоящее из элементов, которые не принадлежат множеству А, и дополняют его до универсального.

= U \ A

U

A

=

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ 4

Изобразить множество Z и найти его элементы, если:

X = {x| -3 ≤ x ≤ 5}

Y = {y| -1 ≤ y ≤ 8}

• Z = X  Y

• X = X  Y

• Z = X \ Y

• Z = Y \ X