Экспериментальная работа " Лист Мебиуса"

Лист Мебиуса.

Цели урока:

• Образовательные:

  • познакомить учащихся с листом Мебиуса, элементами исследовательской работы;

  • расширить знания учащихся в области экспериментальной математики.

• Развивающие:

  • развивать логическое мышление;

  • развивать навык самостоятельной работы при проведении исследования;

  • развивать умения выдвигать гипотезу и сопоставлять ее с полученным результатом;

• Воспитательные:

  • воспитывать целеустремленность в достижении цели;

  • прививать интерес к математике, математическим опытам

  • воспитывать коллективизм, взаимопомощь.

Ход урока.

У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое «поверх­ность». Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что нибудь таинственное в таком обычном понятии? Над этим вопросом сегодня мы будем работать.

Опыт 1.

Вывод: Поверхность листа Мёбиуса односторонняя

Лист оказался закрашенным полностью! А ведь мы его даже не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели. Лист имеет одну поверхность. «Внешняя» и «внутренняя» стороны как бы по ходу движения вдоль ленты переходят друг в друга.

Мёбиус сделал поразительное открытие – получил поверхность, которая имеет лишь одну сторону

С того момента, как немецкий математик А. Ф. Мёбиус обнаружил существование удивительного одностороннего листа бумаги, начала развиваться целая новая ветвь математики, называемая топологией.

Топология является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, т. е не изменяются при деформациях. Примером топологических объектов являются: буквы И и Н, тонкие длинные воздушные шарики.

2.1. Наука топология.

Лист Мёбиуса - один из объектов области математики под названием "топология" (по-другому - "геометрия положения"). Топология изучает свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях (растяжение, сжатие), не допускающих разрывов и склеивания. Топология известна и под именем «Резиновая геометрия». Любую фигуру тополог имеет право сгибать, сжимать, скручивать и растягивать-делать с ней все, что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все ее свойства остались неизменными.

С точки зрения топологии баранка и кружка – это одно и то же. Например, сжимая и растягивая кусочек резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар – разные объекты, чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.

Топология – одна из наук, результаты исследования которой применяются в математике, технике, экономике.

Вывод: У листа Мёбиуса не только одна сторона, но и только один край!

Вывод: Поверхность листа непрерывная и односторонняя.

Вывод: при подобном разрезании Лист Мёбиуса утратил свойство непрерывности.

Применение листа Мёбиуса.

Удивительные свойства ленты Мёбиуса используются в самых различных изобретениях.

В виде парадоксальной геометрической фигуры можно, оказывается, изготовить лопасти бетономешалки или обычного бытового миксера.

Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому, что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Представьте себе обыкновенную ленту, образующую кольцо. На наружную сторону ленты нанесён шлифовальный порошок. Ленту прижимают к изделию, прокручивают, идёт шлифовка. Через какое-то время стирается и сам шлифовальный слой на ленте. Приходится прерывать процесс, менять ленту. Как сделать, чтобы лента работала вдвое дольше, если размеры ленты увеличивать нельзя? В 1969 году изобретателю А. Губайдуллину было выдано авторское свидетельство на шлифовальное устройство с лентой Мёбиуса: срок работы ленты увеличились вдвое.

В технике так же применяется резистор Мебиуса, прокатный стан, ремень передачи, подшипник в виде ленты Мебиуса для увеличения срока работы, ремень передачи.

Благодаря ленте Мёбиуса, были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты с “двух сторон” не меняя их местами.

В большинстве матричных принтеров красящее устройство также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения его ресурса.

В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса. И это только ничтожная часть примеров использования этой удивительной поверхности.

Архитектурные сооружения имеют вид знаменитой ленты Мёбиуса.

Имеются воплощения простого листа Мёбиуса в строительстве. Построенный в Лондоне велодром имеет контуры, которые можно назвать вариацией на тему листа Мёбиуса.

Например, грандиозная библиотека в Казахстане. Изгибы музея образуют лист Мёбиуса, таким образом внутреннее пространство переходит во внешнее и обратно; подобным образом стены переходят в крышу, а крыша трансформируется обратно в стены.

Аттракцион «Американские горки», являющийся подобием «необыкновенного листа», многих людей приводили в восторг.