Доклад на тему "конечные и бесконечные цепные дроби"

Пермь, 2022 г.

Конечные и бесконечные цепные дроби

Непрерывная дробь (или цепная дробь) — это конечное или бесконечное математическое выражение вида

где есть целое число, а все остальные — натуральные числа (положительные целые). При этом числа называются неполными частными или элементами цепной дроби.

Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально.

Главное (но далеко не единственное) назначение непрерывных дробей состоит в том, что они позволяют находить хорошие приближения вещественных чисел в виде обычных дробей. Непрерывные дроби широко используются в теории чисел и вычислительной математике, а их обобщения оказались чрезвычайно полезны в математическом анализе и других разделах математики. Используются также в физике, небесной механике, технике и других прикладных сферах деятельности.

Алгоритм разложения вещественного числа на цепную дробь имеет следующий вид:

Если на i-ом шаге x_i=0, то процесс останавливается. Цепная дробь принимает вид:

Теорема. Всякое действительное число может быть разложено в цепную дробь единственным образом, и всякая конечная или бесконечная цепная дробь имеет своим значением некоторое действительное число.

Пусть α ∈ R - действительное число, заключенное между двумя последовательными целыми числами: а ≤ α а + 1. Число а будем называть нижним целым числа α (это просто целая часть α ), а число а + 1 - верхним целым. Обозначениями для нижнего и верхнего целого числа α пусть будут, соответственно, ⎣ α ⎦ и ⎡ α ⎤. Возьмем произвольное действительное число α ∈ R, q₁ = ⎣ α ⎦. Тогда α = q ₁ + β₁, 0 ≤ β₁ 1, следовательно α₁ =1/β₁ 1, и
α = q₁ +1/α₂. Если, далее, α₁ – не целое, то снова: q₂ = ⎣ α₂ ⎦,
α₂ = q₂ + β₂ = q₂ + 1/α₃, α₃ 1, и α = q₁ +1/q₂ + 1/α₃. Продолжая этот процесс взятия нижних целых и переворачивания дробных частей, получим запись произвольного числа α ∈ R в виде цепной дроби.

Пример. Разложить 105/38 в цепную дробь.

Используем алгоритм Евклида:

105 = 38 2 + 29

38 = 29 1 + 9

29 = 9 3 + 2

9 = 2 4 + 1

2 = 1 2

Неполные частные подчеркнем потому, что теперь для написания ответа нужно расположить их подряд на этажах цепной дроби перед знаками плюс:

.

Подходящие дроби

n -ой подходящей дробью для цепной дроби называется конечная цепная дробь , значение которой равно некоторому рациональному числу . Подходящие дроби с чётными номерами образуют возрастающую последовательность, предел которой равен x. Аналогично, подходящие дроби с нечётными номерами образуют убывающую последовательность, предел которой также равен x.

Эйлер вывел рекуррентные формулы для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей:

Таким образом, величины p_n и q_n представляются значениями континуант:

Последовательности {p_n} и {q_n} являются возрастающими.

Числители и знаменатели соседних подходящих дробей связаны соотношением

которое можно переписать в виде

Откуда следует, что