Доказательство неравенств.

Доказательство неравенств.

Для доказательства неравенств существует несколько способов.

1. Доказательство неравенств на основе определения.

2. Метод выделения квадратов.

3. Метод математической индукции.

4. Использование специальных и классических неравенств.

5. Использование элементов математического анализа.

6. Графический метод.

7. Идея усиления.

8. Метод «от противного».

9. Метод использования тождеств.

10. Метод введения новых переменных.

Из всех приведённых способов, на данном этапе изучения неравенств нам доступны только два: на основе определения и метод выделения квадратов. Их и рассмотрим.

1. Доказательство неравенств на основе определения.

Число больше числа , если их разность чисел и положительна. Исходя из этого определения, можно записать следующие условия:

, если разность ;

, если разность ;

, если разность ;

, если разность .

Например, доказать неравенство .

Составим разность левой и правой части неравенства:

.

Разность отрицательна, значит, левая часть меньше правой, ч.т.д.

2. Метод выделения квадратов.

Метод заключается в представлении неравенства в виде квадрата суммы (или разности), или в виде суммы (разности) квадратов. Мы ведь знаем, что выражение в квадрате всегда положительно, или, в крайнем случае, равно нулю.

Например, доказать неравенство .

Раскроем скобки в правой части неравенства и перенесём слагаемые в левую часть, и представим число 3 в виде трёх слагаемых, каждое из которых равно1:

.

Значит, неравенство верно.

1. Доказать неравенство:

2. Докажите, что для всех действительных значений х и у выполняется неравенство

3. Докажите, что если , то имеет место неравенство

4. Докажите, что если , то имеет место неравенство

5. Докажите неравенства:

   .

6. Докажите, что если то .

7. Докажите, что если , то имеет место неравенство

8. Докажите, что если , то имеет место неравенство

9. Докажите, что если , то:

10. Докажите, что если , то .

11. Докажите, что при любых значениях переменной выполняются неравенства:

2