Числа в памяти компьютера. 9 класс. Семакин

Урок 24.

Числа в памяти компьютера

Цели: иметь представление о способах представления числовых данных в памяти компьютера; иметь представление о способах оперирования числовой информацией в памяти компьютера.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Актуализация знаний

Самостоятельная работа по индивидуальным карточкам.

Проверка домашней работы

2. Какие двоичные числа соответствуют следующим десятичным числам:

128; 256; 512; 1024?

Решение:

128₁₀ = 10000000₂; 256₁₀ = 100000000₂; 512₁₀ = 1000000000₂; 1024₁₀ = 10000000000₂.

3. Чему в десятичной системе равны следующие двоичные числа:

1000001; 10000001; 100000001; 1000000001?

Решение:

1000001₂ = 1 ^. 2⁶ + 0 ^. 2⁵ + 0 ^. 2⁴ + 0 ^. 2³ + 0 ^. 2² + 0 ^. 2¹ + 1 ^. 2⁰ = 64 + 1 = 65₁₀;

10000001₂ = 1 ^. 2⁷ + 1 ^. 2⁰ = 128 + 1 = 129₁₀;

100000001₂ = 1 ^. 2⁸ + 1 ^. 2⁰ = 256 + 1 = 257₁₀;

1000000001₂ = 1 ^. 2⁹ + 1 ^. 2⁰ = 512 + 1 = 513₁₀.

4. Переведите в десятичную систему следующие двоичные числа:

101; 11101; 101010; 100011; 10110111011.

Решение:

101₂ = 1 ^. 2² + 0 ^. 2¹ + 1 ^. 2⁰ = 4 + 1 = 5₁₀;

11101₂ = 1 ^. 2⁴ + 1 ^. 2³ + 1 ^. 2² + 0 ^. 2¹ + 1 ^. 2⁰ = 16 + 8 + 4 + 1 = 29₁₀;

101010₂ = 1 ^. 2⁵ + 0 ^. 2⁴ + 1^. 2³ + 0 ^. 2² + 1 ^. 2¹ + 0 ^. 2⁰ = 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 = 42₁₀;

100011₂ = 1 ^. 2⁵ + 0 ^. 2⁴ + 0 ^. 2³ + 0 ^. 2² + 1 ^. 2¹ + 1 ^. 2⁰ = 32 + 2 + 1 = 35₁₀;

10110111011₂ = 1 ^. 2¹⁰ + 0 ^. 2⁹ + 1 ^. 2⁸ + 1 ^. 2⁷ + 0 ^. 2⁶ + 1 ^. 2⁵ + 1 ^. 2⁴ + 1 ^. 2³ + 0 . 2² + 1 ^. 2¹ + 1 ^. 2⁰ = 1024 + 256 + 128 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 1467₁₀.

5. Переведите в двоичную систему счисления следующие десятич­ные числа:

2; 7; 17; 68; 315; 765; 2047.

Решение:

2₁₀ = 10₂;

7₁₀ = 11₁₂;

17₁₀ = 10001₂;

68₁₀ = 1000100₂;

315₁₀ = 100111011₂;

765₁₀ = 1111111101₂;

2047₁₀ = 11111111111₂.

6. Выполните сложение в двоичной системе счисления:

11 + 1; 111 + 1; 1111 + 1; 11111 + 1.

Решение:

11 + 1 = 100;

111 + 1 = 1000;

1111 + 1 = 10000;

11111 + 1 = 100000.

7. Выполните умножение в двоичной системе счисления:

111 • 10; 111 • 11; 1101 • 101; 1101 • 1000.

Решение:

111 • 10 = 1110;

111 • 11 = 10101;

1101 • 101 = 1000001;

1101 • 1000 = 1101000₂.

1. Теоретический материал уроки

Любая информация в памяти компьютера представляется в двоичном виде: последовательностью нулей и единиц. Ис­торически первым типом данных, с которыми стали работать компьютеры, были числа. Теперь это и числа, и тексты, и изображение, и звук. Работа с данными любого типа в конеч­ном счете сводится к обработке двоичных чисел — чисел, за­писываемых с помощью двух цифр — 0 и 1. Поэтому совре­менные компьютерные технологии называют цифровыми технологиями.

В компьютере различаются два типа числовых величин: целые числа и вещественные числа. Различаются способы их представления в памяти компьютера.

Представление целых чисел

Часть памяти, в которой хранится одно число, будем на­зывать ячейкой. Минимальная ячейка, в которой может хра­ниться целое число, имеет размер 8 битов – 1 байт. Получим представление десятичного числа 25 в такой ячейке. Для этого нужно перевести число в двоичную систему счисления. Как это делается, вы уже знаете. Результат перевода: 25₁₀ = 11001₂.

Теперь осталось «вписать» его в восьмиразрядную ячейку (записать так называемое внутреннее представление числа). Делается это так: 00011001.

Число записывается «прижатым» к правому краю ячейки (в младших разрядах). Оставшиеся слева разряды (старшие) заполняются нулями.

Самый старший разряд — первый слева, хранит знак чис­ла. Если число положительное, то в этом разряде ноль, если отрицательное — единица. Самому большому положитель­ному целому числу соответствует следующий код:

01111111.

Чему он равен в десятичной системе? Можно расписать это число в развернутой форме и вычислить выражение. Но можно решить задачу быстрее. Если к младшему разряду этого числа прибавить единицу, то получится число 10000000. В десятичной системе оно равно 2⁷ = 128. Значит:

01111111₂ = 128 – 1 = 127.

Максимальное целое положительное число, помещающееся в 8-разрядную ячейку, равно 127.

Теперь рассмотрим представление целых отрицательных чисел. Как, например, в 8-разрядной ячейке памяти будет представлено число -25? Казалось бы, очевидным ответом является следующий: нужно в представлении числа 25 заме­нить старший разряд с 0 на 1. К сожалению, в компьютере все несколько сложнее.

Для представления отрицательных целых чисел используется дополнительный код.

Получить дополнительный код можно по следующему алгоритму:

1) записать внутреннее представление положительного числа X;

2) записать обратный код этого числа заменой во всех разрядах 0 на 1 и 1 на 0;

3) к полученному числу прибавить 1.

Определим по этим правилам внутреннее представление числа –25₁₀ в 8-разрядной ячейке:

1. 00011001

2. 11100110

3. +1

11100111 – это и есть представление числа –25.

В результате выполнения такого алгоритма единица в старшем разряде получается автоматически. Она и является признаком отрицательного значения.

Проверим полученный результат. Очевидно, что при сло­жении чисел +25 и – 25 должен получиться ноль.

Для представления отрицательных целых чисел используется дополнительный код.

00011001

⁺ 11100111

1 00000000

Единица в старшем разряде, получаемая при сложении, вы­ходит за границу ячейки и исчезает. В ячейке остается ноль!

Из этого примера теперь можно понять, почему представ­ление отрицательного числа называется дополнительным ко­дом.

Представление восьмиразрядного отрицательного числа -X дополняет представление соответствующего положительного числа +Х до значения 2⁸.

Размер ячейки и диапазон значений чисел

Наибольшее по модулю отрицательное значение в 8-разрадной ячейке равно – 2⁷ = –128. Его внутреннее представле­ние: 10000000. Таким образом, диапазон представления це­лых чисел в восьмиразрядной ячейке следующий: –128Х127, или –2⁷⁷–1.

Восьмиразрядное представление целых чисел обеспечива­ет слишком узкий диапазон значений. Если требуется боль­ший диапазон, нужно использовать ячейки большего разме­ра. Для 16-разрядной ячейки диапазон значений будет сле­дующим: –

2¹⁵  X ¹⁵ – 1, или –32 768  X  32 767.

Теперь становится очевидной обобщенная формула для диапазона целых чисел в зависимости от разрядности N ячейки: –2^N–1  X  2^N–1 – 1.

Диапазон для 32-разрядной ячейки получается достаточ­но большим:

–2³¹  Х  2³¹ – 1, или –2 147 483 648  X  2 147 483 647.

Особенности работы компьютера с целыми числами

Выполняя на компьютере вычисления с целыми числами, нужно помнить об ограниченности диапазона допустимых значений. Выход результатов вычислений за границы допустимого диапазона называется переполнением. Переполне­ние при вычислениях с целыми числами не вызывает преры­вания работы процессора. Машина продолжает считать, но результаты могут оказаться неправильными.

Представление вещественных чисел

Целые и дробные числа в совокупности называются ве­щественными числами. В математике также используется термин «действительные числа». Решение большинства ма­тематических задач сводится к вычислениям с вещественны­ми числами.

Всякое вещественное число (X) можно записать в виде произведения мантиссы т и основания системы счисления р в некоторой целой степени п, которую называют поряд­ком: X = m ^. pⁿ.

Например, число 25,324 можно записать в таком виде: 0,25324 • 10². Здесь т = 0,25324 — мантисса, п = 2 — поря­док. Порядок указывает, на какое количество позиций и в каком направлении должна сместиться десятичная запятая в мантиссе.

Чаще всего для хранения вещественных чисел в памяти компьютера используется либо 32-разрядная, либо 64-раз­рядная ячейка. Первый вариант называется представлением с обычной точностью, второй — представлением с удвоенной точностью. В ячейке хранятся два числа в двоичной системе счисления: мантисса и порядок. Здесь мы не будем подробно рассматривать правила представления вещественных чисел. Отметим лишь основные следствия, вытекающие из этих правил, которые важно знать пользователю компьютера, за­нимающемуся математическими вычислениями.

Особенности работы компьютера с вещественными числами

1. Диапазон вещественных чисел ограничен. Но он значи­тельно шире, чем для рассмотренного ранее способа представления целых чисел. Например, при использо­вании 32-разрядной ячейки этот диапазон следующий:

-3,4 • 10³⁸  X  3,4 • 10³⁸.

1. Выход за диапазон (переполнение) – аварийная ситуа­ция для процессора, который прерывает свою работу.

2. Результаты машинных вычислений с вещественными числами содержат погрешность. При использовании удвоенной точности эта погрешность уменьшается.

1. Закрепление изученного материала

В памяти компьютера целые числа представляются в дво­ичной системе счисления и могут занимать ячейку размером 8, 16, 32 и т. д. битов.

Диапазон значений целых чисел ограничен. Чем больше размер ячейки, тем шире диапазон.

При выходе результатов вычислений с целыми числами за допустимый диапазон работа процессора не прерывается. При этом результаты могут оказаться неверными.

Вещественные числа представляются в виде совокупности мантиссы и порядка в двоичной системе счисления. Обыч­ный размер ячейки — 32 или 64 бита.

Результаты вычислений с вещественными числами при­ближенные. Переполнение приводит к прерыванию работы процессора.

1. Выполнение практического задания

2. Подведение итогов урока

Домашнее задание: § 17 упражнение 2 – 4 на стр. 109.

"Все есть число", — говорили пифагорийцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности.

• Часть памяти, в которой хранится число называют ячейкой, минимальный размер которой – 8 битов.
• Как поместить туда число (например 25)? Переведём его в двоичную систему → 11001

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

Самый старший разряд – первый слева, хранит знак числа.

Если там стоит 0 , то это положительное число , если стоит 1 значит это отрицательное число .

• Самому большому положительному целому числу соответствует следующий код:

01111111

1

10000000

• В десятичной системе оно равно 2 7 = 128. Значит:

01111111 2 = 128 – 1 = 127.

1

1

1

1

1

1

1

0

• Для представления отрицательных целых чисел используется дополнительный код.

Алгоритм получения дополнительного кода:

1) Получить внутреннее представление положительного числа (прямой код) ;

2) записать обратный код этого числа заменой во всех разрядах 0 на 1 и 1 на 0 (обратный код) ;

3) к полученному числу прибавить 1 (дополнительный код) .

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

• Как разместить число -25? Для размещения отрицательных чисел используется дополнительный код.
• Алгоритм получения дополнительного кода:

Получить внутреннее представление положительного числа

(прямой код)

Записать обратный код числа, заменяя 0 на 1 и наоборот

(обратный код)

Прямой код числа 25

Обратный код числа 25

К полученному числу прибавить 1

(дополнительный код)

Дополнительный код числа 25

0

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

• Алгоритм получения дополнительного кода: 1) записать внутреннее представление соответствующего положительного числа → 00011001 2) записать обратный код полученного числа заменой во всех разрядах 0 на 1 и 1 на 0 → 11100110 3) к полученному числу прибавить 1 → 11100111 В результате выполнения такого алгоритма единица получается в старшем разряде автоматически. 00011001

11100110

+1

11100111 – это и есть представление числа –25.

1

1

1

0

1

0

1

1

Практические задания:

• учебник, стр. 109, № 3(а, б) Запишите внутреннее представление следующих десятичных чисел, используя восьмиразрядную ячейку: а) 32 б) – 32
• 1. учебник, стр. 109, № 4(а) Определите, каким десятичным числам соответствуют следующие двоичные коды восьмиразрядного представления целых чисел 00010101

Ответ: 00100000

Ответ: 13

Домашнее задание: § 17,№2, № 3 (в-е), № 4 (б-г).

• 8-разрядное представление целых чисел обеспечивает слишком узкий диапазон значений - 128 ≤ х ≤ 127 или -27 ≤ х ≤ 2 7 -1 .
• Для 16-разрядной ячейки диапазон значений будет следующим: -32 768 ≤ х ≤ 32 767 или - 2 15 ≤ х ≤ 2 15 -1 .
• Диапазон для 32-разрядной ячейки получается достаточно большим: -2 147 483 648 ≤ х ≤2 147 483 467 или - 2 31 ≤ х ≤ 2 31 -1 .
• Обобщённая формула: - 2 N-1 ≤ Х ≤ 2 N-1 -1, где N – разрядность ячейки

• Выход результатов вычислений за границы допустимого диапазона называется переполнением.
• Машина продолжает считать, но результаты могут оказаться неправильными.

Карточка №1

Напишите внутреннее представление следующих чисел

• -16; 16 2) -31;31

Карточка №2

Напишите внутреннее представление следующих чисел

Карточка №3

Напишите внутреннее представление следующих чисел

• -17; 17 2) -30;30

• -18; 18 2) -29;29

Карточка №4

Напишите внутреннее представление следующих чисел

Карточка №5

Напишите внутреннее представление следующих чисел

• -19; 19 2) -28;28

• -15; 15 2)-27;27

Карточка №6

Напишите внутреннее представление следующих чисел

• -14; 14 2)-22;22

• Всякое вещественное число можно записать в виде: Х= m * p n m – мантисса, n – порядок Например: 25,324 = 0,25324 * 10 2 0,25324 – мантисса , 2 – порядок.
• Чаще всего используется либо 32 – разрядная, либо – 64 – разрядная ячейка.

32 – разрядная – числа с обычной точностью

64 – разрядная - числа с двойной точностью

Особенности работы компьютера с вещественными числами

1. Диапазон вещественных чисел ограничен. Но он значительно шире, чем для рассмотренного ранее способа представления целых чисел. Например, при использовании 32-разрядной ячейки этот диапазон следующий:

-3,4 • 10 38  X  3,4 • 10 38 .

2. Выход за диапазон (переполнение) – аварийная ситуация для процессора, который прерывает свою работу.

3. Результаты машинных вычислений с вещественными числами содержат погрешность. При использовании удвоенной точности эта погрешность уменьшается.

• При использовании 32 – разрядной ячейки диапазон чисел: -3,4 * 10 38 ≤ Х ≤ 3,4 * 10 38
• Переполнение - ситуация при которой компьютер прекращает работу.
• Результаты машинных вычислений с вещественными числами содержат погрешность. При использовании удвоенной точности эта погрешность уменьшается.

§ 17, упр. №2, № 3 (в-е), № 4 (б-г) на стр. 109.