2.Отрезок и луч

Точки на прямой

В качестве аксиомы взаимного расположения точек на прямой принимается следующее свойство.

Каждая точка на прямой разбивает эту прямую на две части так, что точки из разных частей лежат по разные стороны от данной точки, а точки из одной части лежат по одну сторону от данной точки.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Если точки A и B лежат по разные стороны от точки C , то говорят также, что точка C лежит между точками A и B .

Отрезок

Отрезком называется ч асть прямой, состоящая из двух данных точек и всех точек, лежащих между ними . При этом сами данные точки называются концами отрезка.

Отрезок обозначается указанием его концов, например, отрезок с концами A и B обозначается AB .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Луч

Л учом , или полупрямой , называется часть прямой, состоящая из данной точки и всех точек, лежащих от нее по одну сторону. При этом сама данная точка называется началом , или вершиной луча.

Для обозначения лучей используются пары прописных латинских букв, например, AB , первая из которых обозначает начало луча, а вторая - какую-нибудь точку, принадлежащую лучу .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

AB . " width="640"

Равенство отрезков

Одной из основных операций, которую можно производить с отрезками, является операция откладывания данного отрезка на данном луче от его вершины. Получающийся при этом отрезок называется равным исходному отрезку.

В качестве аксиомы принимается следующее свойство.

На любом луче от его начала можно отложить только один отрезок , равный данному .

Равенство отрезков АВ и А 1 В 1 записывается в виде АВ = А 1 В 1 . Оно означает, что если один из этих отрезков, например АВ , отложить на луче А 1 В 1 от точки А 1 , то отрезок АВ при этом совместится с отрезком А 1 В 1 .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Если при откладывании отрезка АВ на луче А 1 В 1 от точки А 1 точка В переходит в точку B ' , лежащую между точками А 1 и В 1 , то говорят, что отрезок АВ меньше отрезка А 1 В 1 и обозначают АВ 1 В 1 . Говорят также, что отрезок А 1 В 1 больше отрезка АВ и обозначают А 1 В 1 AB .

Сложение отрезков

Если на отрезке АВ между точками А и В взять какую-либо точку С , то образуется два новых отрезка АС и СВ . Отрезок АВ называется суммой отрезков АС и СВ и обозначается АВ = АС + СВ . Каждый из отрезков АС и СВ называется разностью отрезка АВ и другого отрезка, обозначается АС = АВ - СВ , СВ = АВ - АС .

Чтобы сложить два произвольных отрезка АВ и CD , продолжим отрезок АВ за точку В и на этом продолжении отложим отрезок ВЕ , равный отрезку CD . Отрезок АЕ будет сумм ой отрезков АВ и CD , АЕ = АВ + CD .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Аналогичным образом поступают для вычитания из большего отрезка меньшего.

Вопрос 1

Какое свойство принимается в качестве аксиомы взаимного расположения точек на прямой ?

Ответ: Каждая точка на прямой разбивает эту прямую на две части так, что точки из разных частей лежат по разные стороны от данной точки, а точки из одной части лежат по одну сторону от данной точки.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Вопрос 2

В каком случае говорят, что точка C лежит между точками A и B ?

Ответ: Точка C лежит между точками A и B , если точки A и B лежат по разные стороны от точки C .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Вопрос 3

Какая фигура называется отрезком?

Ответ: Отрезком называется ч асть прямой, состоящая из двух данных точек и всех точек, лежащих между ними .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Вопрос 4

Как обозначается отрезок?

Ответ: Отрезок обозначается указанием его концов.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Вопрос 5

Какая фигура называется лучом?

Ответ: Л учом называется часть прямой, состоящая из данной точки и всех точек, лежащих от нее по одну сторону.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Вопрос 6

Как обозначаются лучи?

Ответ: Для обозначения лучей используются пары прописных латинских букв, например, AB , первая из которых обозначает начало луча, а вторая - какую-нибудь точку, принадлежащую лучу .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Вопрос 7

Какое свойство принимается за аксиому откладывания отрезка?

Ответ: На любом луче от его начала можно отложить только один отрезок, равный данному.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Вопрос 8

Какие два отрезка называются равными?

Ответ: Два отрезка называются равными, если один получается из другого операцией откладывания отрезка.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Вопрос 9

Как сложить два отрезка?

Ответ: Чтобы сложить два отрезка АВ и CD , продолжим отрезок АВ за точку В и на этом продолжении отложим отрезок ВЕ , равный отрезку CD . Отрезок АЕ даст сумму отрезков АВ и CD

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Вопрос 10

Как обозначается сумма отрезков AB и CD ?

Ответ: АВ + CD .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Вопрос 11

В каком случае говорят, что отрезок АВ меньше отрезка А 1 В 1 ?

Ответ: Если при откладывании отрезка АВ на луче А 1 В 1 от точки А 1 точка В переходит в точку B ' , лежащую между точками А 1 и В 1 , то говорят, что отрезок АВ меньше отрезка А 1 В 1 .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Вопрос 12

Как обозначается то, что отрезок AB меньше отрезка CD ?

Ответ: АВ CD .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Вопрос 1 3

Как из большего отрезка вычесть меньший?

Ответ: Чтобы из большего отрезка CD вычесть меньший отрезок AB , на луче CD от вершины C отложим отрезок C Е , равный отрезку AB . Отрезок Е D будет разностью отрезков С D и AB .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 1

Назовите отрезки, концами которых являются точки, изображенные на рисунк ах : а), б) .

Ответ: а) AB , AC , BC ;

б) AB , AC , AD , BC , BD , CD .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 2

Назовите лучи , вершинами которых являются точки, изображенные на рисунк ах .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а) EA , EB , FA , FB , GA , GB ;

б) KC , KD , LC , LD , MC , MD , NC , ND .

Упражнение 3

Н а отрезке АВ взята точка С . Среди лучей АВ , АС , СА , СВ , BA , BC назовите пары совпадающих лучей.

Ответ: CA и CB .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 4

М ежду какими точками лежит точка D на рисунке?

Ответ: E и F , C и F , A и F , O и F , B и F .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 5

К акие точки лежат по одну сторону от точки A на рисунке?

Ответ: E и C ; O , B , D и F .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 6

Для точек A , B , C , D прямой известно, что точки В и С лежат по одну сторону от точки А , точки В и D тоже лежат по одну сторону от точки А . Как расположены точки С и D относительно точки А ?

Ответ: Т очки C и D лежат по одну сторону от точки A

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 7

На сколько частей делят прямую:

а) одна точка?

две;

б) две точки?

три;

в) три точки?

четыре;

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

n + 1 .

г)* n точек?

Упражнение 8

На рисунке у кажите равные отрезки.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а) и д), б) и е), в) и г).

Упражнение 9

От вершины C луча CE отложите отрезок CD , равный отрезку AB .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 10

От вершины C луча CE отложите отрезок CD , равный отрезку AB .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 11

От вершины C луча CE отложите отрезок CD , равный отрезку AB .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 12

Сравните отрезк и AB и CD на рисунке .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

а) равны;

б) равны;

в) равны;

г) равны;

Упражнение 1 3

Укажите середины отрезков AB , CD , EF , GH .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 14

Укажите середины отрезков AB , CD , EF , GH .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 15

Укажите точки, делящие отрезки AB , CD , EF на три равные части.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 16

Укажите точки, делящие отрезки AB , CD , EF , GH на три равные части.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 1 7

Изобразите отрезок, равный сумме отрезков AB и CD .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 1 8

Изобразите отрезок, равный сумме отрезков AB и CD .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 1 9

Изобразите отрезок, равный разности отрезков AB и CD .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 20

Изобразите отрезок, равный разности отрезков AB и CD .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 21

Для точек A , B прямой укажите, где расположены точки C , для которых выполняются равенства:

а) AC + BC = AB ; б) AC – BC = AB ; в) BC – AC = AB .

Ответ:

а) точки, лежащие между A и B ;

б) точки, лежащие от B по другую сторону, чем точка A ;

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

в) точки, лежащие от A по другую сторону, чем точка B .

Упражнение 22

Н а прямой отмечены точки А , В , С , D . Выразите каждый из отрезков в виде суммы или разности остальных.

Ответ: AB = AC – BC ; AC = AB + BC ; AD = AB + BC + CD ; BC = BD – CD ; BD = BC + CD ; CD = BD – BC .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 23 *

Можно ли соединить пять точек плоскости отрезками так, чтобы каждая точка была соединена ровно с: а) двумя; б) тремя; в) четырьмя другими?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

а) Да;

б) нет;

в) да.